Это умный каталог.
Тема
Микро
Макро
Финансы
Математика
Прочее
Обновляю…
Сложностьможно несколько
можно несколькоОбновляю…
Задачи и тестыодно из трёх
одно из трёхОбновляю…
138 задач
с тегом «Прогрессии и суммы рядов»
Выводим денежный мультипликатор
Пусть коммерческие банки хранят долю $rr$ от депозитов в качестве обязательных резервов и долю $er$ от депозитов качестве избыточных резервов. Отношение наличных и безналичных…
Облигация с растущими выплатамитест
Выплата по облигации через год составит $2$ рубль. Каждый следующий год выплата будет увеличиваться на $1$ рубль и так до бесконечности. Найдите, чему сейчас равна стоимость такой…
Пирамида «Финансовый клуб»тест
Два приятеля, Дж. Питерс и Э. Таккер, организовали «Финансовый клуб» и стали его учредителями. В работе клуба они приглашают принять участие всех желающих на следующих условиях…
Эмиссия двора Людовика
решение
Однажды наступил день, когда король Людовик $N$ -й получил в наследство престол от своего предшественника, Людовика под номером $N-1$. Рассеянно выслушав доклад министра финансов…
Question 205. Учим степени 11-титест
Ниже приведена таблица выплат и вложений в некоторый проект: \$…
От одного до статест
100 человек выиграли в лотерею. Первый выиграл 1 долл., второй — 2 долл., третий — 3 долл., и.т.д. Сотый человек выиграл 100 долл. Определить значение коэффициента Джини.
Прогноз прибыли по трендутест
Фирма «Патриот» была основана 10 лет назад и за все эти годы успешно наращивала финансовые показатели. На графике ниже представлена динамика чистой прибыли фирмы – чёрными точками…
Пополняемый и непополняемый вклады
решение
Банки обычно предлагают не один тип вклада, а целую линейку вкладов с разными свойствами и ставками. Например, если вклад нельзя пополнять, то ставка по нему обычно выше. В этой…
Репетиторы и налог
Петя и Маша — репетиторы. Петя силён в экономической теории, а Маша — в финансовой грамотности, и они решили обучать друг друга (по тарифу $1000$ рублей в час). Для простоты…
Question 108. D
В некотором очень темном государстве Лайтанд, в некотором очень темном городе, на темной-темной улице, в темном-претемном доме, в самом темном подвале сидел маленький мальчик…
Во всем виноваты левые
решение
В какой-то Скандинавской стране появилась фирма, которой управляют радикальные социалисты. Больше всего на свете они не любят богатых людей, хотя сами при этом всегда рады…
Question 209. i got 1 2 3 4 5 6 7
В некоторой секретной стране известно, что все люди обязаны играть в лотерею, чтоб получить свой доход, и лотерея устроены следующим образом: первый пришедший получает $1$, второй…
Склад фабрики «Гвоздичка»тест
На фабрике «Гвоздичка» работают два человека – слесарь Василий и директор Руслан Юрьевич. Василий изготавливает детали – по 6 штук в час, – которые фабрика реализует на рынок…
Как разделить пирог?
решение
Вася и Петя решают, как разделить пирог, который только что испекла для них мама. Каждый хочет получить как можно большую часть пирога и как можно раньше (пирог остывает)…
Джини в Нумерландии
решение
В стране Нумерландии все люди вместо имен носят номера от 1 до $N$. Известно, что для любого номера $k$ справедливо равенство: $\frac{M(k+1)}{M(k)} = \left(1 + \frac{1}{N}\right)$…
Ты крути крути крутитест
Некоторый мыш сосис рисует вокруг себя круги, которые становятся его новыми КПВ. Так сначала, стоя в координатах $(0; 0)$, он рисует окружность с радиусом $1$, потом с радиусом…
Монотонность аннуитета
решение
Предприниматель Ксения берет в банке кредит на сумму $S$ рублей на $n$ лет под годовую процентную ставку $r$. Кредит гасится ежегодно аннуитетными платежами (равными суммами в…
Облигация с растущими выплатами
Выплата по облигации в первый год составит $1$ рубль, во второй – $3$ рубля, в третий – $6$ рублей, в четвертый – $10$ рублей и так далее. Найдите, чему сейчас равна стоимость…
Интернет на весь год
решение
Вы оплачиваете услуги интернет-провайдера, в начале каждого месяца внося на счёт одну и ту же сумму. Компания предложила оплатить свои услуги в начале года на год вперёд со скидкой
Резервные цены покупателей
решение
На конкурентном рынке $144$ окупателя, функция спроса для каждого из которых $q_i^d=i-p$, где $i$ — номер покупателя от $1$ до $144$. Если отраслевая функция предложения…
Казак Даниил и задачитест
Донской казак Даниил научился решать «полезные» задачки по математике, чему хочет посвятить все оставшуюся жизнь. Уезжать с Дона он не планирует, ведь как известно «с Дона выдачи…
Question 46. Ты крути крути крутитест
Некоторый мыш сосис рисует вокруг себя круги, которые становятся его новыми КПВ. Так сначала, стоя в координатах $(0;0)$, он рисует окружность с радиусом $1$, потом с радиусом…
Бизнес на воде с сиропом
решение
В Цветочном городе Пончик продает воду с сиропом. Он закупает ее оптом у Сиропчика по 13 руб. за бутылку и продает коротышкам по розничной цене 20 руб. за бутылку. Для торговли…
Ряд как растущая рента
Придумайте экономический способ вычисления суммы $\sum_{t=0}^{\infty} \beta^t t \quad (0 < \beta < 1).$. Указание: рассмотрите выражение…
Мальтузианская загадка Жака Фреско
Поспорили однажды два социолога, экономиста, демографиста, историка и маэстро всех областей гуманитарной мысли Анипов Алексей и Гончаров Константин на очень важную и…
Сети и рыбаки
решение
Граф Бартоломео имеет в личной собственности глубоководный пруд, в котором ежегодно производится сезонный лов рыбы. Для лова рыбы он нанимает рыбаков и приобретает сети. Сеть…
Оптимизация функции в целых числах без использования производной
***Найдите наибольшее/наименьшее значение функции* **$x \in \mathbb{Z}$** ** $y = -2x^2 + 20x + 10 \ \text{при }\ x \in \mathbb{Z}$…
Тысяча и один завод
Задача: Фирма владеет $1001$ заводом, функции издержек которых задаются следующей геометрической прогрессией…
Общественное благо в линейном городе - 2
В Линейном городе по-прежнему живут сто жителей с линейными формулами благосостояния, но со временем их предпочтения изменились. Теперь n-ый житель ценить парк только с…
Завод «Бублик»тест
На заводе «Бублик» в декабре 2019 года произошла массовая модернизация производственного оборудования. В связи с необходимостью освоить управление новой техникой в январе 2020…
Кролики Фибоначчи
Сотовый монополист «Фибоначчи-телеком» решил порадовать всех своих абонентов новой обязательной услугой…
В какой валюте пенсию хранить?
решение
1 марта 2002 года соседки пенсионерки Черных Л.Х. и Белых З.С. получили пенсию, причем размер пенсии Белых З.С. превышал размер пенсии Черных Л.Х. на 63 рубля. По совету своего…
33 коробки конфеттест
В начале первого дня недельных каникул родители подарили капризной девочке Ксении 33 коробки конфет, в каждой из которых было 33 конфеты. Все эти конфеты Ксения в течение каникул…
Расчет максимальной прибыли
Индивидуальный предприниматель Петров изготавливает керамические вазы. Затраты на производство первой вазы составляют 2500 рублей, а доход с её реализации — 3500 рублей…
И - индекс
решение
Многие из вас знакомы с индексом монопольной власти — индексом Лернера. Кто-то из вас слышали про индекс Херфиндаля — Хиршмана на курсах Олмат в прошлом году или на заключительном…
Question 237. The Grob
В стране со спросом $Q_d=256-P$, сложилось очень странная ситуация в понедельник приходит фирма Мандей и продает свой товар как совершенно-конкурентная фирма, потом на остаточном…
Джини в садовом товариществе
решение
Рассмотрим садовое товарищество, организованное в виде кольцевых дорожек, вблизи которых расположены дома (см. рисунок). На i*-ой* дорожке (считая от центра) живут $i$ идентичных…
Мировой рынок счастья
На некоторой очень красивой планете существует бесконечно много стран, причем обратная функция спроса на счастье в стране с номером $n$ задается как $P^d=120-Q*2^n$, а предложение…
Догоняющая странатест
GDP of the country X grows by 1% per year every year. GDP of the country Y grows by 2% per year every year. If in the year 2019 countries have equal GDP, by what year will their…
Государство покупает поезда
решение
В одном далеком государстве есть одна единственная фирма, производящая поезда метро. К сожалению заказчик у неё тоже всего один – государство. При этом цену сначала назначает…
Остров и коэффициент Джини
решение
Население некоторого острова составляет ровно $n$ человек. Самый бедный получает $0,01\%$ всего дохода страны. Доход следующего жителя выше дохода предыдущего ровно на $0,02$ проце…
Фугасы и контрабасытест
Одна страна может производить только два вида изделий – фугасы $(Y)$ и контрабасы $(X)$. Известно, что максимальное производство контрабасов может составить $465$ штук (в том…
Ипотека от застройщика
решение
Иван может купить квартиру в новостройке стоимостью $P$, взяв ипотеку. У Ивана есть две опции: 1. Взять ипотеку в банке на срок $T$ месяцев. В этом случае ставка процента составит…
Робинзон и туземцы
решение
Робинзон Крузо ожидает, что через $3$ года приплывет корабль и заберет его в Европу. Пока же он решил, используя свои навыки в кораблестроении, делать лодки для туземцев. При этом…
Бесконечный налог на монополиста
Два экономиста претендуют на место в министерстве экономики в первой в мире стране с бесконечно делимой валютой. Чтобы получить желаемое место, нужно предложить систему…
Ускоренная амортизациятест
Фирма приобрела оборудование на сумму 3 млн. рублей. Срок службы оборудования – 4 года. Фирма применяет следующую схему ускоренной амортизации: норма амортизации каждого…
Благоустройство парка
решение
В центре города Набережные Челны есть парк. В городе живет $N$ жителей. Полезность $i$ -го жителя: $U_i = \theta_i \ln(g) - g_i,$ где $g_i$ – вклад $i$ -го жителя в благоустройства…
Пирамида Базилио и Алисы
В Стране Дураков тихо и мирно живут $35$ человек. Живут они настолько тихо и мирно, что не зарабатывают ничего и ничего не тратят, а хранят в сундучке по одной золотой монетке. В…
Верхняя граница Джинитест
Численность населения в экономике равна $L$ человек, а доход индивида с номером $k$ составляет $k$ денежных единиц. Найдите точную верхнюю границу индекса Джини для данной…
Облигация Матроскина
решение
Однажды жителям одного домика в Простоквашино понадобилась корова, на покупку которой денег увы у его жителей не было. В доме жил кот, у которого родилась гениальная идея…
Ускоренная амортизациятест
Фирма приобрела оборудование на сумму 3 млн. рублей. Срок службы оборудования — 4 года. Фирма применяет следующую схему ускоренной амортизации: норма амортизации каждого…
Таргетирование инфляции
решение
За четыре года с января 1996 по декабрь 1999 года уровень цен увеличился на 284% при постоянном ежегодном темпе инфляции. В январе 2000 года Совет директоров Центрального Банка…
Коттедж в аренду
решение
Вам предлагают купить за 11000 у.е. в пригороде индивидуальный коттедж с участком с перспективой его сдачи в аренду. Известно, что:
Показательная функция центест
Какая должна быть зависимость уровня цен $P$ от времени $t$, чтобы уровень инфляции в каждом году был равен 100%? 1) $P = t$; 2) $P = 2t$; 3) $P = 3t$; 4) $P = 2^t$; 5) $P = t^2$.
Автобусная монополия
решение
В стране А есть столица и очень много маленьких городов. Автобусная компания «Солнышко» является единственным перевозчиком между столицей и маленькими городами. Компания сама…
Автобусная монополия «Солнышко»
решение
В стране А есть столица и очень много маленьких городов. Автобусная компания «Солнышко» является единственным перевозчиком между столицей и маленькими городами. Компания сама…
Выбор вклада
решение
Банки обычно предлагают не один тип вклада, а целую линейку вкладов с разными свойствами и ставками. Например, если вклад нельзя пополнять, то ставка по нему обычно выше. В этой…
AVC при целом выпускетест
Предельные издержки некой фирмы задаются уравнением $MC = 2q$; выпуск фирмы может быть только целым числом. Чему равна величина $AVC(2020)$ "— средние переменные издержки при…
Банк против застройщика
решение
Иван может купить квартиру в новостройке стоимостью $P$, взяв ипотеку. У Ивана есть две опции: 1. Взять ипотеку в банке на срок $T$ месяцев. В этом случае ставка процента составит…
100 потребителей и 100 фирм
решение
На рынке некоторого товара действуют $100$ потребителей и $100$ производителей. Спрос потребителя с номером $i$, где $i=1,2,\dots,100$, задаётся функцией $q_i^d=i-p.$ Предложение…
Три завода табуреток
решение
Компания «Progressive stools» владеет тремя заводами по производству современных инновационных табуреток. Для каждого из заводов в таблице приведена зависимость месячных издержек…
Мультипликатор двух групп
решение
В государстве Шахматная Федерация живут черные и белые. Белые тратят на потребление долю $x$ своих дополнительных доходов, а черные — долю $y$. Государственные заказы размещаются…
Балда и Поп
решение
Поп нанял работника Балду молоть зерно в муку. Из одного мешка зерна получается одна мера муки. Балда согласен размолоть первый мешок за 3 рубля; за второй мешок он просит на 10…
«Драконы и зарплаты» (20 баллов)
решение
В Далёкой-Далёкой Стране живут драконы. Они начинают работать в 20 лет и выходят на пенсию в 50 лет. Драконьи учёные провели большой опрос и установили, что зарплата драконов…
«Полезно или бесполезно?»
решение
Алёша очень любит сладкое. Каждый день он съедает хотя бы одну конфету, и чем больше общее количество конфет, съеденных в день $t$, тем счастливее Алёша. Но, к сожалению…
Стационарная капиталовооруженностьтест
Динамика капиталооворуженности (количество капитала, приходящееся на одного работника) в стране Икс описывается равенством: $k_t=60+0.4k_{t-1}$ Найдите уровень капиталовооруженност…
Ежегодное повышение зарплаты
решение
Компания повышает зарплату новому сотруднику каждый год на 10 000 рублей. В первый год работы его оклад составил 300 000 рублей.
Склад мебельной фирмытест
Каждый месяц компания «МебельВам» планирует производить $100$ столов и продавать $50\%$ процентов от их запасов. Первоначальных запасов на момент открытия фирма не имеет…
Телескопическое произведение
Докажите, что $\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{9}\right)\cdots \left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\frac{n+1}{2n}.$
Тождество Никомаха
Докажите, что $1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+...+n)^2=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2.$
Сумма биномиальных коэффициентов
Докажите, не используя формулу числа сочетаний: $C^0_n + C^1_n + C^2_n + ... + C^{n-1}_n + C^n_n = 2^n$
Чередование средних
Выписаны три натуральных числа, образующих возрастающую геометрическую прогрессию. Сеня продолжил последовательность так, что все числа, стоящие на нечетных местах оказались…
Совпадение членов прогрессийтест
Последовательность из двух различных чисел продолжили двумя способами: так, чтобы получилась геометрическая прогрессия, и так, чтобы получилась арифметическая прогрессия. При этом…
Пересечение прогрессий
У Юры и Ивана есть любимые арифметические прогрессии, состоящие из натуральных чисел. В каждой из них первый член меньше разности. Разность Юриной прогрессии равна $11$, а Ваниной…
Магический кристалл сообщает про каждую арифметическую прогрессию значение ровно одного её члена.
Две прогрессиитест
Первый член арифметической прогрессии $A_n$ равен $1$. Сумма первых девяти членов этой прогрессии равна $369$. Найдите сумму первых девяти членов геометрической прогрессии, первый…
Какие последовательности арифметические
Известно, что $\{a_n\}$ – арифметическая прогрессия. Выясните, какие из перечисленных ниже последовательностей также являются арифметическими прогрессиями:
Свойства арифметической и геометрической прогрессий
Докажите свойства арифметической прогрессии:
Гонка линкоровтест
Вильгельм II хочет построить флот, чтобы бросить вызов военно-морскому превосходству Великобритании. В начале 1902 года у Германии было 3 линкора, а у Британии – 14. До 1907 года…
А где цифры?!
Сераж хочет накопить денег на поездку в Турцию для себя и своей подруги Немарины. Он не очень хочет разбираться в ценных бумагах (что такое 'шортить' и 'лонгить'?!) (а если вы…
Коэффициент Джини в трёх распределениях доходов
Рассчитайте коэффициент Джини в каждой из ситуаций
Внимательно осматривая памятники
Супруги Сергей и Мария решили купить два парковочных места в подземном паркинге жилого комплекса. Для этой цели Мария оформила кредит в банке на сумму 3 360 000 рублей под 14%…
Индекс Робина Гудатест
В стране живет 10 гномов. Если упорядочить их в порядке возрастания дохода, получится так, что каждый следующий гном зарабатывает в два раза больше прошлого гнома. Чему равен…
Сникерс или твикс?
На фабрике по производству шоколадок предприниматель Артём решил открыть новую линию по выпуску батончиков. За первый месяц планируется выпустить 1\,000 батончиков. Каждый…
Математика -- 3тест
Сумма первых трёх членов арифметической прогрессии равна 24, а сумма последних трёх её членов равна 48. Сколько членов в этой арифметической прогрессии, если первый равен 6?
Четыре задачи на прогрессии
решение
а) Найдите первый член арифметической прогрессии, если сумма двадцати пяти первых членов прогрессии равна 250 и $d=3$. б) Сумма первых трех членов арифметической прогрессии равна…
Кредит с двумя ставками
В июле 2025 года планируется взять кредит на 8 лет. Условия его возврата таковы: — В январе 2026, 2027, 2028, 2029 годов долг возрастает на $20\%$ по сравнению с концом…
И таких задач я могу придумать миллион, им буквально нет конца.
решение
Дан многочлен $x^2 - bx + c$, имеющий два корня(ненулевых) одного знака, известно, что коэффициенты данного многочлена(-b, c) и два корня образуют арифметическую прогрессию(в…
Вот за это уважают Григория Злотина(доп.задача)
решение
Может ли существовать арифметическая прогрессия(непостоянная), все члены которой являются точными квадратами?
Чемпион не тот, кто взял, а тот, кто отстоял свой пояс
решение
Про многочлен с нечётной степенью без кратных корней известно, что его действительные корни(их хотя бы два) образуют одновременно арифметическую и геометрическую прогрессию, и все…
Ты кто такой, чтобы это решить?
решение
В казино «Диффиченто» пришло невероятно много игроков, но, к счастью, оказалось, что казино огромное и имеет невероятно много столов для игры в покер. Правила казино очень простые…
Депозиты и мультипликатор
В республике Технологичная население использует только безналичные деньги. Суммарное количество депозитов, которое попадает в банковскую систему на втором этапе действия денежного…
Черепахи и сглаживаниетест
В городе Шестипалатинск время от времени происходят необычные эпизоды. Например: Эпизод первый. В начале 2000-го Вася Странный нагадал, что проживет до конца 2063-го и что он…
Дефлятор ВВП и темп инфляции за век
решение
Кто эту задачу не решал, жизни не видал (Алексей Суздальцев) Как в 2022, так и в 2122 году в стране X производились и потреблялись одни и те же 100 товаров. Однако в связи с…
Пессимистичные ожидания в модели Кидланда-Прескотта
В каждый момент времени в стране Х кривая Филлипса имеет стандартный вид: $u_t-u^*=\gamma(\pi_t^e-\pi_t ),$ где $u_t$ — фактический уровень безработицы в текущем периоде, $u^*$ — е…
Вывод формулы аннуитета
решение
Вася взял ипотеку в размере L в банке под r% годовых на n лет. По договору он должен возвращать деньги аннуитетными платежами (ежегодные платежи равными суммами) в размере P. Чему…
NPV стартапа
решение
На ежемесячном собрании креаторы, аналитики и программисты выдвинули идею усовершенствования виртуального сервиса, направленного на помощь с выбором товара. Ожидается, что…
Миша и Маша копят
решение
Миша и Маша одновременно положили одинаковую сумму денег на счёт в банке в 2004 году 1 января. На протяжении 20 лет вклад был в банке, а в конце каждого года начислялись проценты…
Реструктуризация долга страны Ф
решение
Однажды одна большая и гордая страна Ф столкнулась со сложной ситуацией – в виду блокировки резервов она не смогла мгновенно выполнить свои долговые обязательства перед страной С…
Средние переменные издержки при дискретном выпускетест
Предельные издержки некой фирмы задаются уравнением $MC = 2q$; выпуск фирмы может быть только целым числом. Чему равна величина $V(2020)$ — средние переменные издержки при…
Показать ещё 20
показано 100 из 138