Ты кто такой, чтобы это решить?
В казино «Диффиченто» пришло невероятно много игроков, но, к счастью, оказалось, что казино огромное и имеет невероятно много столов для игры в покер. Правила казино очень простые - за один стол могут сесть только игроки с одинаковым количеством фишек (изначально у каждого ровно 1 фишка, фишки бесконечно делимы). Каждый раунд за любым столом устроен крайне просто - половина игроков проигрывают половину своих фишек, а остальные выигрывают их фишки (то есть увеличивают состояние на 50$\%$). Соответственно в первом раунде все игроки садятся за столы, после чего образуются 2 равные по численности группы, доходы которых различаются в 3 раза. На втором раунде эти 2 группы играют между собой все по тем же правилам, после чего образуются 3 группы с различным доходом (убедитесь, что именно 3, а не 4).
Подпункты
а)
Ответьте на вопрос - равные ли по численности эти группы или нет.
Далее игра продолжается все по тем же законам и число различных групп продолжает увеличиваться с каждым разом.
Далее игра продолжается все по тем же законам и число различных групп продолжает увеличиваться с каждым разом.
б)
Покажите, что коэффициент Джини, характеризующий неравенство распределения фишек между игроками, растет после каждого раунда.
в)
Выведите координаты изломов кривой Лоренца перед n-ным раундом. (Возможно вам понадобится значок суммы $\sum$)
Каждый отрезок между изломами обозначает некоторую группу игроков, внутри которой фишки распределены равномерно. Давайте рассмотрим излом, который разделяет 60$\%$ беднейших и 40$\%$ богатейших групп.
Устремим число сыгранных раундов к бесконечности. Проверьте, что доля 40$\%$ самых богатых групп в общем числе игроков стремится к 0. Проверьте также, что доля фишек 60$\%$ самых бедных групп от общего числа стремится к 0.
Каждый отрезок между изломами обозначает некоторую группу игроков, внутри которой фишки распределены равномерно. Давайте рассмотрим излом, который разделяет 60$\%$ беднейших и 40$\%$ богатейших групп.
Устремим число сыгранных раундов к бесконечности. Проверьте, что доля 40$\%$ самых богатых групп в общем числе игроков стремится к 0. Проверьте также, что доля фишек 60$\%$ самых бедных групп от общего числа стремится к 0.
г)
Используя полученные результаты, докажите, что коэффициент Джини будет стремится к 1.
Математическая справка: формула $(a + b)^n$ выражается через бином Ньютона, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. При четном n коэффициент $C_n^{\frac{n}{2}}$ является наибольшим.
$$(a + b)^n = C_n^0 a^0 b^n + C_n^1 a^1 b^{n-1} + ... + C_n^k a^k b^{n-k} + ... + C_n^n a^0 b^n $$
$$a^a(1-a)^{1 - a} \in (0.5; 1)\;\,при\;\, a\in(0; 0.5)$$
При $n \rightarrow \infty$ $\frac{n^k}{a^n} \rightarrow 0$, при любых $k$ и $a>1$
При $n \rightarrow \infty$ и $k \rightarrow \infty$ выполнено следующее:
$$C_n^k \rightarrow \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{2\pi k (n - k)}} \cdot \frac{n^n}{k^k (n-k)^{n-k}} $$
Математическая справка: формула $(a + b)^n$ выражается через бином Ньютона, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. При четном n коэффициент $C_n^{\frac{n}{2}}$ является наибольшим.
$$(a + b)^n = C_n^0 a^0 b^n + C_n^1 a^1 b^{n-1} + ... + C_n^k a^k b^{n-k} + ... + C_n^n a^0 b^n $$
$$a^a(1-a)^{1 - a} \in (0.5; 1)\;\,при\;\, a\in(0; 0.5)$$
При $n \rightarrow \infty$ $\frac{n^k}{a^n} \rightarrow 0$, при любых $k$ и $a>1$
При $n \rightarrow \infty$ и $k \rightarrow \infty$ выполнено следующее:
$$C_n^k \rightarrow \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{2\pi k (n - k)}} \cdot \frac{n^n}{k^k (n-k)^{n-k}} $$
Решение
a)Нет
б)Каждый график снизу касается предыдущего
в)$$\frac{\sum_{k=0}^{i-1} C_n^k}{2^n}, \frac{\sum_{k=0}^{i-1} C_n^k 3^k}{4^n}$$
г)$$\frac{\sum_{k=0}^{0.4n} C_n^k}{2^n}\leq\frac{0.4n C_n^{0.4n}}{2^n}\sim \frac{0.4n}{\sqrt{0.48\pi n}[\sqrt[5]{2^2 *3^3}]^n 2^n} =\frac{A\sqrt{n}}{B^n}\to 0$$
Где $B>1$ потому что $2^7>5^3,3^3>5^2$, значит $X(0.6n)\to 1$
$$\frac{\sum_{k=0}^{0.6n} C_n^k3^k}{4^n}\leq \frac{C_n^{0.5n}\sum_{k=0}^{0.6n} 3^k}{4^n}\sim\frac{[3^{0.6n+1}-1]}{0.5^n4^n\sqrt{2\pi n}}=\frac{A}{B^n\sqrt{n}}\to 0$$
Так как $3^{0.6}<2$
б)Каждый график снизу касается предыдущего
в)$$\frac{\sum_{k=0}^{i-1} C_n^k}{2^n}, \frac{\sum_{k=0}^{i-1} C_n^k 3^k}{4^n}$$
г)$$\frac{\sum_{k=0}^{0.4n} C_n^k}{2^n}\leq\frac{0.4n C_n^{0.4n}}{2^n}\sim \frac{0.4n}{\sqrt{0.48\pi n}[\sqrt[5]{2^2 *3^3}]^n 2^n} =\frac{A\sqrt{n}}{B^n}\to 0$$
Где $B>1$ потому что $2^7>5^3,3^3>5^2$, значит $X(0.6n)\to 1$
$$\frac{\sum_{k=0}^{0.6n} C_n^k3^k}{4^n}\leq \frac{C_n^{0.5n}\sum_{k=0}^{0.6n} 3^k}{4^n}\sim\frac{[3^{0.6n+1}-1]}{0.5^n4^n\sqrt{2\pi n}}=\frac{A}{B^n\sqrt{n}}\to 0$$
Так как $3^{0.6}<2$