И таких задач я могу придумать миллион, им буквально нет конца.
Дан многочлен $x^2 - bx + c$, имеющий два корня(ненулевых) одного знака, известно, что коэффициенты данного многочлена(-b, c) и два корня образуют арифметическую прогрессию(в каком-то порядке). Найдите все возможные значения коэффициентов и корней данного многочлена.
Решение
Если корни x1 и x2, то $-b = x1 + x2$, c = $x1 * x2$. После записывания этих тождеств, сдающий должен понять, что оба корня не могут быть отрицательными, т.к если они оба отрицательные, то между корнями и коэффициентами очевидено такие - $x1 + x2<= x1 <= x2<= x1*x2$(для удобства в решалке я предположил, что x1<= x2, это удобно сделать, так как задача симметрична относительно x1 и x2), тогда так как эти элементы члены одной арифм прогрессии, то сумма 1 и 4 элемента равна сумме 2-ого и 3-ого, значит $x1 + x2 + x1 * x2 = x1 + x2$, значит $x1*x2 = 0$, значит один из корней 0, противоречие условию. Затем разбираются случаи, когда x1 и x2 больше нуля, при разборе случаев важно помнить: x1 + x2>=x1, x1 + x2>= x2. Случай, когда x1x2 наименьший элемент даст противоречие, как и в случае с отриц корнями, остальные случае дадут решения, они будут x1 = 2/3, x2 = 2, -b = 2 + 2/3, c = 4/3. x1 = 4/3, x2= 2, -b = 2 + 4/3, c = 8/3. x1 = 2, x2 =4, -b = 8, c = 6. EZ