а) Найдите первый член арифметической прогрессии, если сумма двадцати пяти первы
а) Найдите первый член арифметической прогрессии, если сумма двадцати пяти первых членов прогрессии равна 250 и $d=3$.
б) Сумма первых трех членов арифметической прогрессии равна 27, а сумма последних трех членов данной прогрессии равна 45. Сколько членов в заданной арифметической прогрессии, если ее первый член равен 7?
в) Найдите бесконечную геометрическую прогрессию, если $b_1 + b_2 = 4$, а $S = 16/3$.
г) Вычислите сумму первых восемнадцати членов арифметической прогрессии $a_n = -11 + 3n$
б) Сумма первых трех членов арифметической прогрессии равна 27, а сумма последних трех членов данной прогрессии равна 45. Сколько членов в заданной арифметической прогрессии, если ее первый член равен 7?
в) Найдите бесконечную геометрическую прогрессию, если $b_1 + b_2 = 4$, а $S = 16/3$.
г) Вычислите сумму первых восемнадцати членов арифметической прогрессии $a_n = -11 + 3n$
Решение
а) Пусть первый член прогрессии равен \(a\), а разность \(d = 3\). Тогда:
1. Двадцать пятый член прогрессии:
\[
a_{25} = a + 24d = a + 24 \cdot 3 = a + 72
\]
2. Сумма первых двадцати пяти членов:
\[
S_{25} = \frac{a_1 + a_{25}}{2} \cdot 25 = \frac{a + (a + 72)}{2} \cdot 25 = (a + 36) \cdot 25 = 25a + 900
\]
3. По условию сумма равна 250:
\[
25a + 900 = 250
\]
\[
25a = -650
\]
\[
a = -26
\]
б) Пусть:
• Первый член прогрессии: $a_1 = 7$
• Разность прогрессии: $d$ (неизвестна)
• Количество членов: $n$ (требуется найти)
1. Найдём разность прогрессии $d$ из суммы первых трёх членов:
\[
a_1 + a_2 + a_3 = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) = 3a_1 + 3d = 21 + 3d = 27
\]
\[
21 + 3d = 27 \Rightarrow 3d = 6 \Rightarrow d = 2
\]
2. Найдём количество членов $n$ из суммы последних трёх членов:
\[
a_{n-2} + a_{n-1} + a_n = (a_1 + d(n-3)) + (a_1 + d(n-2)) + (a_1 + d(n-1))
\]
\[
= 3a_1 + d(3n - 6) = 21 + 2(3n - 6) = 21 + 6n - 12 = 9 + 6n = 45
\]
\[
9 + 6n = 45 \Rightarrow 6n = 36 \Rightarrow n = 6
\]
в) $b_1 + b_2 = b_1 + b_1 \cdot d = 4 \rightarrow b_1 = \frac{4}{1 + d}$
$S = \frac{b_1}{1 - d} = \frac{16}{3} \rightarrow \frac{4}{1 - d^2} = \frac{16}{4} \rightarrow d^2 = \frac{1}{4}$
Возможны две (надо найти обе!) геометрические прогрессии:
$d = -\frac{1}{2} \rightarrow b_n = \frac{8}{(-2)^{n-1}}$
$d = \frac{1}{2} \rightarrow b_n = \frac{8}{3\cdot2^{n-1}}$
г) 1. Найдём первый член прогрессии:
\[ a_1 = -11 + 3 \cdot 1 = -11 + 3 = -8 \]
2. Найдём восемнадцатый член прогрессии:
\[ a_{18} = -11 + 3 \cdot 18 = -11 + 54 = 43 \]
3. Вычислим сумму первых восемнадцати членов:
\[ S_{18} = \frac{a_1 + a_{18}}{2} \cdot 18 = \frac{-8 + 43}{2} \cdot 18 = \frac{35}{2} \cdot 18 = 35 \cdot 9 = 315 \]
1. Двадцать пятый член прогрессии:
\[
a_{25} = a + 24d = a + 24 \cdot 3 = a + 72
\]
2. Сумма первых двадцати пяти членов:
\[
S_{25} = \frac{a_1 + a_{25}}{2} \cdot 25 = \frac{a + (a + 72)}{2} \cdot 25 = (a + 36) \cdot 25 = 25a + 900
\]
3. По условию сумма равна 250:
\[
25a + 900 = 250
\]
\[
25a = -650
\]
\[
a = -26
\]
б) Пусть:
• Первый член прогрессии: $a_1 = 7$
• Разность прогрессии: $d$ (неизвестна)
• Количество членов: $n$ (требуется найти)
1. Найдём разность прогрессии $d$ из суммы первых трёх членов:
\[
a_1 + a_2 + a_3 = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) = 3a_1 + 3d = 21 + 3d = 27
\]
\[
21 + 3d = 27 \Rightarrow 3d = 6 \Rightarrow d = 2
\]
2. Найдём количество членов $n$ из суммы последних трёх членов:
\[
a_{n-2} + a_{n-1} + a_n = (a_1 + d(n-3)) + (a_1 + d(n-2)) + (a_1 + d(n-1))
\]
\[
= 3a_1 + d(3n - 6) = 21 + 2(3n - 6) = 21 + 6n - 12 = 9 + 6n = 45
\]
\[
9 + 6n = 45 \Rightarrow 6n = 36 \Rightarrow n = 6
\]
в) $b_1 + b_2 = b_1 + b_1 \cdot d = 4 \rightarrow b_1 = \frac{4}{1 + d}$
$S = \frac{b_1}{1 - d} = \frac{16}{3} \rightarrow \frac{4}{1 - d^2} = \frac{16}{4} \rightarrow d^2 = \frac{1}{4}$
Возможны две (надо найти обе!) геометрические прогрессии:
$d = -\frac{1}{2} \rightarrow b_n = \frac{8}{(-2)^{n-1}}$
$d = \frac{1}{2} \rightarrow b_n = \frac{8}{3\cdot2^{n-1}}$
г) 1. Найдём первый член прогрессии:
\[ a_1 = -11 + 3 \cdot 1 = -11 + 3 = -8 \]
2. Найдём восемнадцатый член прогрессии:
\[ a_{18} = -11 + 3 \cdot 18 = -11 + 54 = 43 \]
3. Вычислим сумму первых восемнадцати членов:
\[ S_{18} = \frac{a_1 + a_{18}}{2} \cdot 18 = \frac{-8 + 43}{2} \cdot 18 = \frac{35}{2} \cdot 18 = 35 \cdot 9 = 315 \]