Однажды одна большая и гордая страна Ф столкнулась со сложной ситуацией – в виду
Однажды одна большая и гордая страна Ф столкнулась со сложной ситуацией – в виду блокировки резервов она не смогла мгновенно выполнить свои долговые обязательства перед страной С. Такая ситуация называется техническим дефолтом. Обычно за техническим дефолтом может последовать банкротство, но так это довольно долгая и сложная процедура, страны решили прийти к соглашению и реструктуризировать долг страны Ф на следующих условиях: через год она заплатит N биллиардов ларов (лары – национальная валюта страны С), еще через год N-1 биллиардов, еще через год N-2, и так далее. Последний платеж должен составить ровно один биллиард ларов.
Страна С предупредила, что так как в их стране довольно высокие темпы роста инфляции, ставка процента составляет 100% годовых. Сумма долга страны Ф в настоящий момент и так очень большая – 14 000 030 517 578 125 ларов (1 биллиард $= 10^{15}$), однако могучий Центральный банк страны Ф посчитал, что они смогут справиться с такой нагрузкой. Определите сумму первого платежа (N – целое число) и количество лет, в течение которых будет выплачен долг.
Страна С предупредила, что так как в их стране довольно высокие темпы роста инфляции, ставка процента составляет 100% годовых. Сумма долга страны Ф в настоящий момент и так очень большая – 14 000 030 517 578 125 ларов (1 биллиард $= 10^{15}$), однако могучий Центральный банк страны Ф посчитал, что они смогут справиться с такой нагрузкой. Определите сумму первого платежа (N – целое число) и количество лет, в течение которых будет выплачен долг.
Решение
Выплата долга будет происходить в течение N лет. $PV=\ 14\ 000\ 030\ 517\ 578\ 125={10}^{15}(\frac{N}{2}+\frac{N-1}{2^2}+\ldots+\frac{1}{2^N}$
$\left(\frac{N}{2}+\frac{N-1}{2^2}+\ldots+\frac{1}{2^N}\right)=N\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\ldots+\frac{1}{2^{N-1}}\right)+\ \frac{1}{2^N}-(\frac{1}{2^2}+2\ast\frac{1}{2^3}+3\ast\frac{1}{2^4}+\ldots)$
По сумме геометрической прогрессии с $q<1$:$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\ldots+\frac{1}{2^{N-1}}=\frac{b_1}{1-q}= \frac{0,5}{1-0,5}=1$
$\left(\frac{1}{2^2}+2\ast\frac{1}{2^3}+3\ast\frac{1}{2^4}+\ldots\right)$ можно представить как сумму $S_i$:
$S_1=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\ldots$
$S_2=\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\ldots$
$S_3=\frac{1}{2^4}+\ldots$
И так далее. Каждая сумма представляет собой сумму членов геометрической прогрессии.
Так $S_1 = 0.5, S_2 = {0.5}^2$ и так далее. Тогда сумма $S_i$ тоже является суммой членов геометрической прогрессии, так что $\left(\frac{1}{2^2}+2\ast\frac{1}{2^3}+3\ast\frac{1}{2^4}+\ldots\right)=1$
Таким образом $PV=\ 14\ 000\ 030\ 517\ 578\ 125={10}^{15}(N+\frac{1}{2^N}-1)$, откуда $N-1 = 14$, оставшееся слагаемое представляет собой дробную часть числа. Первый платеж составляет 15 биллиардов, долг выплачивается в течение 15 лет.
$\left(\frac{N}{2}+\frac{N-1}{2^2}+\ldots+\frac{1}{2^N}\right)=N\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\ldots+\frac{1}{2^{N-1}}\right)+\ \frac{1}{2^N}-(\frac{1}{2^2}+2\ast\frac{1}{2^3}+3\ast\frac{1}{2^4}+\ldots)$
По сумме геометрической прогрессии с $q<1$:$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\ldots+\frac{1}{2^{N-1}}=\frac{b_1}{1-q}= \frac{0,5}{1-0,5}=1$
$\left(\frac{1}{2^2}+2\ast\frac{1}{2^3}+3\ast\frac{1}{2^4}+\ldots\right)$ можно представить как сумму $S_i$:
$S_1=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\ldots$
$S_2=\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\ldots$
$S_3=\frac{1}{2^4}+\ldots$
И так далее. Каждая сумма представляет собой сумму членов геометрической прогрессии.
Так $S_1 = 0.5, S_2 = {0.5}^2$ и так далее. Тогда сумма $S_i$ тоже является суммой членов геометрической прогрессии, так что $\left(\frac{1}{2^2}+2\ast\frac{1}{2^3}+3\ast\frac{1}{2^4}+\ldots\right)=1$
Таким образом $PV=\ 14\ 000\ 030\ 517\ 578\ 125={10}^{15}(N+\frac{1}{2^N}-1)$, откуда $N-1 = 14$, оставшееся слагаемое представляет собой дробную часть числа. Первый платеж составляет 15 биллиардов, долг выплачивается в течение 15 лет.