Война?!
В королевстве еды и вина правит доблестный король Ешьдапей. Жители королевства умеют производить только еду и вино. При этом за один человеко-час можно произвести либо одну единицу еды, либо половину единицы вина. Также можно производить любую допустимую комбинацию двух товаров, учитывая то, что альтернативные издержки производства каждого из товаров постоянны. Всего в распоряжении короля имеется 10 человеко-часов ежедневно. Ешьдапей размышляет над тем, следует ли ему вступать в войну с очень большим соседним королевством вина и еды. Чтобы завоевать $H$ земель соседнего королевства, Ешьдапею нужно навсегда потерять $H$ из 10 человеко-часов, которыми он располагает ежедневно. При этом $H$ завоёванных территорий приносят королю $H$ новых человеко-часов ежедневно. Единственная разница между этими новыми жителями и жителями королевства еды и вина заключается в том, что за один человеко-час новые жители умеют произвести либо не более одной единицы вина, либо не более половины единицы еды. Заметим, что Ешьдапей может указывать своим подданным, как им распределять свои силы между производством вина и еды.
Подпункты
а)
Ешьдапей непременно хочет, чтобы еды и вина производилось равное количество и чем больше, тем лучше. Сколько земель тогда решит завоевать правитель королевства еды и вина? Приведите графическую иллюстрацию.
б)
Как изменится решение короля, если ради завоевания $H$ новых земель, ему теперь придется навсегда потерять $2H$ из 10 своих человеко-часов? Приведите графическую иллюстрацию.
в)
Теперь ради завоевания $H$ новых земель, Ешьдапею придется навсегда потерять $H^2$ своих человеко-часов. Сколько новых земель решит завоевать король?
Решение
(а) При отсутствии войны король Ешьдапей может добиться $B=E=\dfrac{10}{3}$. При войне общее количество часов не меняется. Заметим, что жители королевства еды и вина умеют лучше производить еду, а жители королевства вина и еды умеют лучше производить вино. Следовательно, так как Ешьдапей имеет возможность «обменять» $H$ своих человеко-часов на $H$ человеко-часов соседнего королевства, то ему имеет смысл «обменять» их так, чтобы всю еду производили на его изначальной территории, а чтобы всё вино производили на завоёванной территории. Другими словами, точка перелома новой КПВ должна находиться на прямой $y=x$, где $y$ обозначает количество еды, а $x$ — количество вина. В то же время в точке перелома $x=H$, а $y=10-H.$ Следовательно, оптимальным $H$ будет тогда, когда будет выполняться следующее равенство. $$H=10-H.$$ $$H=5.$$ Если $H=5$, то можно обеспечить $B=E=5>10/3$, если $H\ne5$, то из условия $B=E$ следует, что кто-то работает не по специальности. Поэтому $B=E<5$. Приведем теперь графическую иллюстрацию. (б) Теперь король может «обменять» $2H$ из своих человеко-часов на $H$ человеко-часов соседнего государства. Можно заметить, что Король не сможет обеспечить лучший выбор в результате ни от одного из обменов. Н приобретенных иностранцев смогут произвести $E=H$ или $B=0,5H$. 2Н потерянных соотечественников могли произвести $E=2H$ или $B=H$. Но при каких-то войнах ему может быть не хуже, чем раньше. А именно, при таких войнах, что он сможет получить $B=E=\dfrac{10}{3}$ . А это, в свою очередь, выполняется при $H\le \dfrac{10}{3}$ (то есть пока новых иностранцев не придется задействовать не по их специализации). Ответ: $H\in[0;10/3]$ Приведем теперь графическую иллюстрацию. (в) Если $H>2$, то решение аналогично решению п. (б), король точно не будет воевать. Пусть далее $H\le2$. Первоначально $10/3$ работали на производстве $E$, $20/3$ работали на производстве $B$. Зафиксируем $E$. Если захватим $H$ земель, то потеряем в вине $ \dfrac{H^{2}}{2}$, а приобретем $H$. Максимизируем $-\dfrac{H^{2}}{2}+H$, получаем $H=1$. Таким образом, среди $H\in[0,2]$ оптимальным вариантом является $H=1$.