3 коровы
На лугу пасутся 3 коровы: Ассоль, Бруся и Власта. Рядом расположен загон, в котором коровы питаются сеном. Запас сена в загоне очень большой. К стогу с сеном есть подход только с одной стороны, причем он рассчитан только на одну корову. Когда пастух в 12:00 дает команду о том, что пора подкрепиться, каждая корова принимает стратегическое решение о том, какой по счету она хотела бы есть сено: первой в 12:00 ($t=1$), второй в 12:20 ($t =2$) или третьей в 12:40 ($t=3$). Оказавшись у стога с сеном, корова принимает решение о том, сколько килограммов сена (переменная $x$) съесть. Если корове никто не мешает, то она ест столько сена, сколько хочет, причем 20 минут ей хватает на прием любого разумного количества сена. Если несколько коров выбирают один и тот же интервал питания $t$, то между ними возникает конфликт и они начинают толкаться. В случае если толкаются 2 коровы, то каждая из них сможет схватить не более 12 кг сена, а если толкаются 3 коровы, то каждая полакомится не более чем 5 кг сена. Удовольствие от кормежки для каждой из коровы описывается следующим уравнением: $u(x,t)= -2x^2+40x-10t$ (каждой корове не терпится поесть)
Подпункты
а)
Сколько сена съест корова, если ей никто не мешает? Как это количество зависит от времени питания $t$?
б)
Если в одном временном интервале конкурируют 2 коровы, сколько съест каждая из них? А если сразу 3 коровы?
в)
Назовем равновесием такой выбор коровами времени кормления и количества съеденного сена, при котором ни одна из них, узнав о выборе остальных, не жалеет о собственном выборе. Решения принимаются одновременно. Какое время кормления будут выбирать коровы в равновесии и сколько сена съедят?
г)
Изменится ли ваш ответ на вопрос пункта в), если запас сена ограничен 20 килограммами? Считайте, что если во время какого-то кормления запас сена недостаточен для того, чтобы насытиться всем участницам, то они делят его поровну.
Решение
а) Полезность коровы $u(x,t)$ является квадратичной функцией от $x$ с отрицательным старшим коэффициентом. Значит, точка максимума — это точка $40/(2\times 2)=10$. Если корове ничего не мешает, она съест 10 кг сена. Это решение коровы не зависит от периода кормления $t$. б) Если две коровы выбирают одно и то же время кормления $t$, то каждая из них сможет съесть не более 12 килограммов сена. Но $10<12$, поэтому точка максимума доступна корове. В такой ситуации каждая корова снова будет есть 10 кг сена. А вот если сразу все три коровы решили поесть одновременно, то каждой достанется не более 5 килограммов сена. Так как $10>5$, теперь корова не сможет съесть столько, сколько она хотела бы. Поскольку для любого значения $t$ на интервале $(0,5)$ функция $u(x,t)$ монотонно возрастает по $x$, то каждая корова выберет максимально возможное число еды — 5 килограммов сена. в) Из пункта б) следует, что в равновесии как минимум 2 коровы должны есть в первом периоде $t=1$. Действительно, если в первом периоде ест только одна корова или вообще ни одной, то любой из оставшихся коров будет выгодно изменить свое решение и тоже выбрать $t=1$. Значит, остается 2 варианта: либо все 3 коровы едят в первом периоде, либо 2 коровы едят в первом периоде, а одна — во втором. Необходимо сравнить эти 2 альтернативы с точки зрения привлекательности для оставшейся коровы, которая выбирает, какой из двух вариантов — питание в первом или во втором периоде — лучше. Если все три коровы кормятся в первом периоде, то каждая из них получает полезность $u(5,1)=140$. Если две коровы кормятся в первом периоде, а одна — во втором, то две коровы получают максимально возможную полезность $u(10,1)=190$, а оставшаяся корова получает полезность $u(10,2)=180$. Так как $u(10,2)=180>140=u(5,1)$, то равновесием являются ситуации, в которых любые две из коров едят в первом периоде, а оставшаяся — во втором. г) Теперь ситуация из пункта в) больше не является равновесием. Если две коровы поедят в первом периоде, то третьей корове ничего не останется. Поэтому при ограничении объема сена в 20 килограммов все три коровы будут есть в первом периоде. Кроме того, других равновесий нет (опять же, в равновесии как минимум 2 коровы должны есть в первом периоде, иначе те, кто едят позднее, пожалеют об этом).