Географическое разнообразие
В стране А есть столица и очень много маленьких городов. Автобусная компания «Солнышко» является единственным перевозчиком между столицей и маленькими городами. Компания сама выбирает цены билетов, а также то, в какие города будут ходить автобусы из столицы (между маленькими городами дорог нет), при этом количество городов может быть только целым. Спрос на перевозки в каждый город одинаков и имеет следующий вид: $q_i=400/p_i^2$, где $q_i$ — величина спроса на билеты на автобус в $i$-й город (в штуках), $p_i$ — цена билета в этот город ($i = 1, 2, \dots, N$, где $N$ — общее количество городов, в которые ходят автобусы компании «Солнышко»). Издержки перевозки одного пассажира в любой город составляют 2 денежных единицы, не считая издержек организации маршрута. Создание всё новых маршрутов — не такая уж и простая задача, требующая составления расписания, организации логистики, закупок, установки турникетов и т. п. Организация маршрута в первый город стоит 1 денежную единицу, во второй — 2 денежные единицы, ... , в $N$-й город — $N$ денежных единиц. Определите максимальную прибыль фирмы «Солнышко».
Решение
Общую прибыль можно записать так: $$ \pi = (p_1 q_1 - 2q_1) + (p_2 q_2 - 2q_2) + \dots + (p_N q_N - 2q_N) - (1 + 2 +\dots + N). $$ После подстановки обратных функций спроса $p_i=\frac{20}{\sqrt{q_i}}$ и применения формулы суммы арифметической прогрессии получаем: $$ \pi = (20 \sqrt{q_1} - 2q_1) + (20 \sqrt{q_2} - 2q_2) + \dots + (20 \sqrt{q_N} - 2q_N) - \frac{N^2+N}{2}. $$ Выражение в каждой из скобок — парабола относительно $\sqrt{q_i}$ (каждое $\sqrt{q_i}$ влияет на значение только «своей» параболы). Если $\sqrt{q_i}=t$, то выражения в скобках принимают вид $(20t-2t^2)$. Все параболы имеют вершину в точке $t=5,$ то есть $q_i = 25$. Тот же ответ можно получить, взяв производную функции прибыли от перевозок до отдельного города: $$ \pi_i ' = (20 \sqrt{q_i} - 2q_i) '= \frac{10}{\sqrt{q_i}} - 2. $$ Это убывающая функция, а значит, приравнивание ее к $0$ даст максимум выражения под знаком производной: $q_i=25$. Еще один способ — посчитать прибыль в регионе $i$ как функцию от цены: $$ \pi_i = p_i \cdot \frac{400}{p_i^2} - 2\cdot \frac{400}{p_i^2}. $$ Это парабола с ветвями вниз относительно $s=1/p_i$, максимум достигается при $p_i = 4$. Наконец, можно было узнать оптимальную цену, воспользовавшись формулой взаимосвязи индекса Лернера и эластичности спроса (третий способ): $$ \frac{p_i-MC}{p_i}= \frac{1}{|\varepsilon|}. $$ При данных функциях спроса $|\varepsilon|=2$, а $MC=2$ по условию. Отсюда получаем $p_i=4$. Этот результат никак не зависит от того, каково значение $N$: сколько бы городов ни обслуживала компания, в каждый будет продано 25 билетов, цена каждого билета равна 4. Запишем функцию прибыли с учетом выбора оптимальных $q_i$: $$
\pi = (20\cdot 5 - 2\cdot 25) \cdot N - \frac{N^2+N}{2} = \frac{99N - N^2}{2}.
$$ Это тоже парабола с ветвями вниз — теперь уже зависящая от переменной $N$. Ее максимум достигается в вершине — точке $N= 49,5$, но количество городов должно быть целым. Поскольку квадратичная парабола симметрична относительно своей вершины, а числа 49 и 50 находятся на одинаковом расстоянии от 49,5, в двух ближайших целочисленных точках прибыль будет одинаковой и равной $$ \pi = \frac{99 \cdot 50 - 50^2}{2} = 1225. $$
\pi = (20\cdot 5 - 2\cdot 25) \cdot N - \frac{N^2+N}{2} = \frac{99N - N^2}{2}.
$$ Это тоже парабола с ветвями вниз — теперь уже зависящая от переменной $N$. Ее максимум достигается в вершине — точке $N= 49,5$, но количество городов должно быть целым. Поскольку квадратичная парабола симметрична относительно своей вершины, а числа 49 и 50 находятся на одинаковом расстоянии от 49,5, в двух ближайших целочисленных точках прибыль будет одинаковой и равной $$ \pi = \frac{99 \cdot 50 - 50^2}{2} = 1225. $$