Между городами $A$ и $B$ летает единственная авиакомпания (монополист)
Между городами $A$ и $B$ летает единственная авиакомпания (монополист). Спрос на билеты предъявляют две группы: студенты и не-студенты.
Если студент покупает билет по цене $P_s$, то его месячный спрос равен
$Q_s = 40 - P_s.$
Если не-студент покупает билет по цене $P$, то его месячный спрос равен
$Q_n = 64 - P.$
Издержки авиакомпании состоят из фиксированной части $500$ д.е. в месяц и постоянных предельных издержек. Изначально все продажи осуществляются онлайн, и предельные издержки на один билет равны $8$ д.е.
Компания рассматривает возможность арендовать офис продаж за ежемесячную плату $R$. При наличии офиса компания дополнительно продаёт билеты только студентам (при предъявлении документа) по цене $P_s$. Продажи не-студентам по-прежнему осуществляются онлайн по цене $P$. При этом обслуживание офиса увеличивает предельные издержки на один билет, проданный студенту в офисе, до $10$ д.е. (для онлайн-продаж предельные издержки остаются равны $8$ д.е.). Студенты могут выбрать, где купить билет: онлайн по цене $P$ или в офисе по цене $P_s$.
Если студент покупает билет по цене $P_s$, то его месячный спрос равен
$Q_s = 40 - P_s.$
Если не-студент покупает билет по цене $P$, то его месячный спрос равен
$Q_n = 64 - P.$
Издержки авиакомпании состоят из фиксированной части $500$ д.е. в месяц и постоянных предельных издержек. Изначально все продажи осуществляются онлайн, и предельные издержки на один билет равны $8$ д.е.
Компания рассматривает возможность арендовать офис продаж за ежемесячную плату $R$. При наличии офиса компания дополнительно продаёт билеты только студентам (при предъявлении документа) по цене $P_s$. Продажи не-студентам по-прежнему осуществляются онлайн по цене $P$. При этом обслуживание офиса увеличивает предельные издержки на один билет, проданный студенту в офисе, до $10$ д.е. (для онлайн-продаж предельные издержки остаются равны $8$ д.е.). Студенты могут выбрать, где купить билет: онлайн по цене $P$ или в офисе по цене $P_s$.
Подпункты
а)
(10 баллов) Найдите оптимальную единую онлайн-цену $P^*$ (без офиса), объём продаж $Q^*$ и прибыль компании.
б)
(10 баллов) Предположим, что офис открыт. Компания выбирает онлайн-цену $P$ и студенческую офисную цену $P_s$. Найдите оптимальные $P^*,P_s^*$, объёмы продаж $Q_n^*,Q_s^*$ и прибыль компании (до вычета арендной платы $R$).
в)
(5 баллов) Найдите максимальную арендную плату $R_{\max}$, которую компания согласится платить за офис.
Решение
а) Без офиса (единая цена онлайн).
При цене $P$ студенты и не-студенты покупают онлайн по одной цене, поэтому при $P\le 40$ суммарный спрос:
\[
Q(P)=(40-P)+(64-P)=104-2P.
\]
Прибыль:
\[
\pi(P)=(P-8)Q(P)-500=(P-8)(104-2P)-500.
\]
Запишем обратный спрос через $Q$: из $Q=104-2P$ получаем
\[
P=52-\frac{Q}{2}.
\]
Тогда
\[
TR(Q)=PQ=\left(52-\frac{Q}{2}\right)Q=52Q-\frac{Q^2}{2},
MR(Q)=52-Q.
\]
Условие оптимума $MR=MC$ (здесь $MC=8$) даёт
\[
52-Q=8 \;\Rightarrow\; Q^*=44,
P^*=52-\frac{44}{2}=30.
\]
Проверка: $30\le 40$, значит обе группы действительно покупают.
Прибыль:
\[
\pi^*=(30-8)\cdot 44-500=22\cdot 44-500=968-500=468.
\]
(Если бы фирма ставила $P\ge 40$, то студенты не покупали бы; на отрезке $[40,64]$
максимум достигался бы при $P=40$ и давал бы прибыль $268<468$, поэтому найденное решение оптимально.)
Итак,
\[
P^*=30, Q^*=44, \pi^*=468.
\]
б) Офис открыт (две цены).
Студенты могут купить либо онлайн по $P$, либо в офисе по $P_s$, поэтому студенты будут покупать в офисе только если
\[
P_s\le P.
\]
Покажем, что в оптимуме это выполняется.
Не-студенты (онлайн): $Q_n=64-P$, $MC=8$.
Для линейного спроса $P=64-Q_n$ предельная выручка $MR=64-2Q_n$. Тогда
\[
64-2Q_n=8 \;\Rightarrow\; Q_n^*=28, P^*=64-28=36.
\]
Вклад в прибыль (до фиксированных $500$):
\[
(P^*-8)Q_n^*=(36-8)\cdot 28=28\cdot 28=784.
\]
Студенты (офис): $Q_s=40-P_s$, $MC=10$.
Для $P_s=40-Q_s$ имеем $MR=40-2Q_s$, поэтому
\[
40-2Q_s=10 \;\Rightarrow\; Q_s^*=15, P_s^*=40-15=25.
\]
Вклад:
\[
(P_s^*-10)Q_s^*=(25-10)\cdot 15=15\cdot 15=225.
\]
Проверка сегментации: $P_s^*=25\le P^*=36$, значит студенты действительно покупают в офисе.
Итоговая прибыль (до аренды $R$):
\[
\pi_{office}=784+225-500=509.
\]
в) Максимальная аренда.
Фирма согласится на офис, если прибыль после аренды не ниже, чем без офиса:
\[
509-R \ge 468 \;\Rightarrow\; R \le 41.
\]
Следовательно,
\[
R_{\max}=41.
\]
Ответ: без офиса $P^*=30$, $Q^*=44$, $\pi=468$; с офисом
$P^*=36$, $P_s^*=25$, $Q_n^*=28$, $Q_s^*=15$, прибыль до аренды $509$; $R_{\max}=41$.
При цене $P$ студенты и не-студенты покупают онлайн по одной цене, поэтому при $P\le 40$ суммарный спрос:
\[
Q(P)=(40-P)+(64-P)=104-2P.
\]
Прибыль:
\[
\pi(P)=(P-8)Q(P)-500=(P-8)(104-2P)-500.
\]
Запишем обратный спрос через $Q$: из $Q=104-2P$ получаем
\[
P=52-\frac{Q}{2}.
\]
Тогда
\[
TR(Q)=PQ=\left(52-\frac{Q}{2}\right)Q=52Q-\frac{Q^2}{2},
MR(Q)=52-Q.
\]
Условие оптимума $MR=MC$ (здесь $MC=8$) даёт
\[
52-Q=8 \;\Rightarrow\; Q^*=44,
P^*=52-\frac{44}{2}=30.
\]
Проверка: $30\le 40$, значит обе группы действительно покупают.
Прибыль:
\[
\pi^*=(30-8)\cdot 44-500=22\cdot 44-500=968-500=468.
\]
(Если бы фирма ставила $P\ge 40$, то студенты не покупали бы; на отрезке $[40,64]$
максимум достигался бы при $P=40$ и давал бы прибыль $268<468$, поэтому найденное решение оптимально.)
Итак,
\[
P^*=30, Q^*=44, \pi^*=468.
\]
б) Офис открыт (две цены).
Студенты могут купить либо онлайн по $P$, либо в офисе по $P_s$, поэтому студенты будут покупать в офисе только если
\[
P_s\le P.
\]
Покажем, что в оптимуме это выполняется.
Не-студенты (онлайн): $Q_n=64-P$, $MC=8$.
Для линейного спроса $P=64-Q_n$ предельная выручка $MR=64-2Q_n$. Тогда
\[
64-2Q_n=8 \;\Rightarrow\; Q_n^*=28, P^*=64-28=36.
\]
Вклад в прибыль (до фиксированных $500$):
\[
(P^*-8)Q_n^*=(36-8)\cdot 28=28\cdot 28=784.
\]
Студенты (офис): $Q_s=40-P_s$, $MC=10$.
Для $P_s=40-Q_s$ имеем $MR=40-2Q_s$, поэтому
\[
40-2Q_s=10 \;\Rightarrow\; Q_s^*=15, P_s^*=40-15=25.
\]
Вклад:
\[
(P_s^*-10)Q_s^*=(25-10)\cdot 15=15\cdot 15=225.
\]
Проверка сегментации: $P_s^*=25\le P^*=36$, значит студенты действительно покупают в офисе.
Итоговая прибыль (до аренды $R$):
\[
\pi_{office}=784+225-500=509.
\]
в) Максимальная аренда.
Фирма согласится на офис, если прибыль после аренды не ниже, чем без офиса:
\[
509-R \ge 468 \;\Rightarrow\; R \le 41.
\]
Следовательно,
\[
R_{\max}=41.
\]
Ответ: без офиса $P^*=30$, $Q^*=44$, $\pi=468$; с офисом
$P^*=36$, $P_s^*=25$, $Q_n^*=28$, $Q_s^*=15$, прибыль до аренды $509$; $R_{\max}=41$.