Вклад Андрея
Сосед Андрей решил открыть вклад на определённую сумму на несколько лет. Ему нужно сделать выбор между двумя банками: «Сиреной» и «Первым городским банком». «Первый городской банк» предлагает следующие условия: часть суммы положить под p% годовых, другую часть, но не большую половины всей суммы — под q% годовых (p < q). Банк «Сирена» предлагает один вариант: положить всю сумму под $(p+q)/2\%$ годовых. Какой банк предлагает более выгодные условия? Пусть $p=4$ и $q=14$, а a и b — суммы, которые Андрей положит по p% и q% годовых, соответственно, если решит воспользоваться «Первым городским банком». При каком наименьшем значении отношения a/b проценты, которые ему начислили бы в банке «Сирена» за два года были бы не меньше, чем в «Первом городском банке»? Ответ округлите до сотых.
Решение
1. За n лет в первом банке ( в «Первом городском банке») исходная сумма a + b возрастёт до величины $$a\left(1+\frac{p}{100}\right)^n+b\left(1+\frac{q}{100}\right)^n=\frac{a(p+100)^n+b(q+100)^n}{100^n}$$ а во втором банке (банке «Сирена») — до величины: $$(a+b)\left(1+\frac{p+q}{200}\right)^n=\frac{(a+b)(p+q+200)^n}{200^n} $$ Для краткости введём обозначения $p + u = 100$ и $q + v = 100.$ Тогда в первом случае получим величину $$\frac{au^n+bv^n}{100^n} \ (1)$$ а во втором — величину: $$\frac{(a+b)(u+v)^n}{200^n} \ (2)$$ Очевидно, что если в числителе дроби (1) число a уменьшить на некоторую величину, а b увеличить на ту же величину, то вся дробь возрастёт. Поэтому наибольшее значение суммы, до которой может возрасти вклад в первом банке равно: $$\dfrac{a+b}{2}\cdot \dfrac{u^n+v^n}{100^n} \ (3)$$ Докажем, что для любого n >1 справедливо неравенство $$\frac{a+b}{2}\cdot \dfrac{u^n+v^n}{100^n} >\dfrac{(a+b)(u+v)^n}{200^n}$$ Разделив обе части на $\dfrac{a+b}{100^n}$, получим равносильное неравенство: $$\dfrac{u^n+v^n}{2} >\left(\dfrac{u+v}{2}\right)^n$$ Это неравенство можно легко доказать множеством разных способов, например, используя метод математической индукции, заметив, что оно выполняется, начиная с n=2, или используя свойство монотонности данных последовательностей, сделав определенные алгебраические преобразования, вычислить пределы при n стремящимся к бесконечности правой и левой части. Приведём следующий вариант доказательства. Разделим обе его части на $v^n$ $$\dfrac{(u/v)^n+1}{2} >\left(\dfrac{u/v+1}{2}\right)^n$$ Заметим, что по условию $0 \lt \dfrac{u}{v}\lt1 $. Рассмотрим на промежутке (0;1] функцию: $f(x)=\dfrac{x^n+1}{2}-\left(\dfrac{x+1}{2}\right)^n$ Так как $f'(x)=\dfrac{1}{2}nx^{n-1}-\dfrac{1}{2}n\left(\dfrac{x+1}{2}\right)^{n-1}=\dfrac{n}{2}\Biggl(x^{n-1}-\left(\dfrac{x+1}{2}\right)^{n-1}\Biggr)$ и $x\lt \dfrac{x+1}{2}$ при $0 \lt x \lt 1$, то на этом промежутке $f'(x) < 0 $, и, следовательно, функция f строго убывает. Так как $f (1) = 0$, то при $0 \lt x \lt1$ справедливо неравенство $f(x)>0$ 2. Проценты, начисленные в банке «Сирена» за два года будут не меньше, чем в первом в том и только в том случае, если выполняется неравенство: $$au^2b+bv^2 \leq (a+b)\left(\dfrac{u+v}{2}\right)^2$$ т.е. если $$\begin{array}{c}a\left(\dfrac{u+v}{2}\right)^2-au^2 \geqslant bv^2-b\left(\dfrac{u+v}{2}\right)^2 \\ a\Biggl(\left(\dfrac{u+v}{2}\right)^2-u^2\Biggr) \geqslant b\Biggl(v^2-\left(\dfrac{u+v}{2}\right)^2\Biggr) \\ a(v-u)(3u+v) \geqslant b(v-u)(u+3v)\end{array}$$ Учитывая того, что $v > u$, получаем, что последнее неравенство равносильно неравенству: $$\dfrac{a}{b} \geqslant \dfrac{u+3v}{v+3u}$$ Подставляя u=104, v=114 в последнее неравенство, получаем: $\dfrac{a}{b} \geqslant \dfrac{446}{426} \approx 1,05$ Ответ: 1,05