Задача 4 ОЧ-2015 (10 класс)
Г-н Комиссаренко решил преумножить свое богатство, положив 2 миллиона рублей в банк. Он выбирает между банками «Анжела» и «Виктория», годовые ставки по депозитам в которых составляют 5% и 20% соответственно. Однако с точки зрения рейтинговых агентств эти банки имеют разные категории надежности – А и B. Банк «Анжела» имеет категорию А, банк «Виктория» – категорию В. Банки категории А никогда не нарушают свои обязательства перед вкладчиками. Для банков категории B статистика хуже: в среднем ежегодно 10 из 100 таких банков прекращают платежи. Считайте, что неплатежеспособность банка может выявиться только по итогам первого квартала года, и к этому моменту вкладчик еще не получит никаких процентов, которые ему причитаются, так что в этом случае от его вклада не останется вообще ничего.
Подпункты
1)
Рассчитайте ожидаемую сумму$^{*}$, которую г-н Комиссаренко будет иметь через год: a. Вложив деньги в банк «Анжела»; b. Вложив деньги в банк «Виктория»; c. Поровну разделив деньги между банками.
2)
На рынке появился третий банк «Светлана», его ставка по вкладу – 10%, а категория надежности – С, означающая, что банк окажется неплатежеспособным с вероятностью 5%. Как появление нового банка повлияет на решение г-на Комиссаренко о выборе банка, при условии, что он должен положить деньги в один банк?
3)
Государство ввело гарантию по банковским вкладам на сумму до 1,4 млн. рублей. Теперь в случае неплатежеспособности банка вкладчик получает сумму вклада в пределах 1,4 миллиона рублей и никаких процентов. А сумма вклада свыше 1,4 млн. рублей теряется, как и раньше. Вкладчик может иметь сколько угодно вкладов в разных банках, и гарантирован будет каждый вклад (главное, чтобы ни в одном банке не было больше 1,4 млн. руб.). a. Куда при этих новых обстоятельствах, при прочих равных условиях, г-н Комиссаренко будет вкладывать свои 2 миллиона рублей? b. Привело ли введение государственной гарантии по банковским вкладам к перетоку вкладов из менее надежных, с точки зрения рейтинговых агентств, банков в более надежные? $^{*}$Под ожидаемой суммой следует понимать математическое ожидание. Справка Пусть распределение вероятностей случайной величины Х представлено в таблице: Значения, которые принимает X $X_{1}$ $X_{2}$ ... $X_{n}$ Вероятность $p_{1}$ $p_{2}$ ... $p_{n}$ Математическим ожиданием $(E(X))$ случайной величины X называют число: $E(X)=p_{1}X_{1}+p_{2}X_{2}+...+p_{n}X_{n}.$ Пример. Предположим, вам предлагают сыграть в лотерею, где с вероятностью 110 вы выиграете 100 рублей, с вероятностью 12 вы выиграете 200 рублей, и с вероятностью 25 выиграете 500 рублей. Тогда математическое ожидание денежного выигрыша в этой лотерее равно: $E(X)=110∗100+12∗200+25∗500=10+100+200=310$ рублей.
Решение
Пункт 1. Рассчитайте ожидаемую сумму, которую г-н Комиссаренко будет иметь через год: Вложив деньги в банк «Анжела»; $E(A)=1,05∗Х$,где X−сумма вклада При $Х=2$ млн. получаем: $2∗(1+0,05)=2,1$ Вложив деньги в банк «Виктория»; $E(В)=0,9∗1,2∗X=1,08X$ При $Х=2$ млн. получаем: $2∗(1+0,2)∗0,9=2,16$ $0,1$ – вероятность дефолта $0,9$ – не дефолт Поровну разделив деньги между банками. Самый простой способ расчета состоит в получении среднего арифметического от ожидаемой суммы в двух банках: $(2,1+2,16)/2 = 2,13.$ Таким образом, наиболее выгодно для вкладчика положить все деньги в банк В. Пункт 2. На рынке появился третий банк «Светлана», его ставка по вкладу – 10%, а категория надежности – С, означающая, что банк окажется неплатежеспособным с вероятностью 5% и средства вкладчика в течение года не будут ему возвращены. Как появление нового банка повлияет на решение г-на Комиссаренко о выборе банка, при прочих равных условиях? $Е(С)=(0,95∗1,1)∗Х=1,045Х$ При $Х=2$ млн. получаем: $2∗(1+0,1)∗0,95=2,09$ Положив деньги в банк С, г-н Комиссаренко с вероятностью 95% получит 2,2 млн. руб., и с вероятностью 5% – 0 руб, ожидаемая сумма составит 2,09 млн. руб. Так как ожидаемая сумма и в банке А, и в банке В выше, чем в банке С, то появление банка С не повлияет на выбор вкладчика. Пункт 3. Государство ввело гарантию по банковским вкладам на сумму до 1,4 млн. рублей. Теперь в случае неплатежеспособности банка вкладчик получает только сумму вклада в пределах 1,4 миллиона рублей. А сумма вклада свыше 1,4 млн. рублей теряется, как и раньше. Вкладчик может иметь сколько угодно вкладов в разных банках, и гарантирован будет каждый вклад (главное, чтобы ни в одном банке не было больше 1,4 млн. руб.). Как эти новые обстоятельства могут повлиять, при прочих равных условиях, на решение г-на Комиссаренко? $$E(C)= \begin{cases} X+0.95*X*0,1=1,095X, & X\le 1.4\\ 0.95*X*1.1+0.05*1.4=1.045X+0.07, & X \gt 1.4 \\ \end{cases} $$ $$E(B)= \begin{cases} X+0.9*X*0,2=1,18X, & X\le 1.4\\ 0.9*X*1.2+0.1*1.4=1.08X+0.14, & X \gt 1.4 \\ \end{cases} $$ $$E(A)=1.05X$$ Ожидаемые суммы в банках В и С при введении государственной гарантии по вкладам увеличились, а в банке А – нет. Следовательно, привлекательность банков В и С в глазах г-на Комиссаренко по сравнению с банком А повысилась. Это может побудить г-на Комиссаренко к переводу денег из банка А в банки В и С. Таким образом введение государственного страхования вкладов привело к тому, что депозиты стали перетекать в более рискованные банки. Следовательно, государственная гарантия по банковским вкладам поощряет переток депозитов в более рискованные банки. 2 млн. в А: 1,05*2=2,1 1,4 в А и 0,6 в В: 1,05*1,4+1,18*0,6=2,178 1,4 в А и 0,6 в С: 1,05*1,4+1,095*0,6=2,127 2 млн. в В: 1,08*2+0,14=2,3 1,4 в В и 0,6 в А: 1,18*1,4+0,6*1,05=2,282 1,4 в В и 0,6 в С: 1,18*1,4+1,095*0,6=2,309 2 млн. в С: 1,045*2+0,07=2,16 1,4 в С и 0,6 в А: 1,095*1,4+0,6*1,05=2,163 1,4 в С и 0,6 в В: 1,095*1,4+1,18*0,6=2,241 Таким образом, г-ну Комиссаренко выгоднее положить 1,4 млн. рублей в банк «Виктория» и 0,6 млн. руб. в банк «Светлана». Если необходимо разместить вклад целиком в одном банке, то предпочтение отдается банку «Виктория».