Открытие депозита в банке (8 класс)
Гражданин N в начале января текущего года планирует разместить свои накопления в размере 200 тыс. руб. в банке. У него есть возможность положить средства на вклад «Выгодный» с годовой процентной ставкой 20%, которая зафиксирована на весь срок договора по вкладу, или на вклад «Доходный». Годовая процентная ставка по этому вкладу на первый год обслуживания клиента составляет 30% и снижается в три раза на второй год обслуживания. Проценты по каждому вкладу, полученные за первый год, прибавляются к первоначальной сумме вклада, и в следующем году проценты начисляются на эту новую сумму. Срок действия вклада для обоих вариантов размещения составляет 2 года. При досрочном закрытии вклада проценты по вкладу не начисляются. Вклад «Доходный» не предусматривает снятие средств в течение срока вклада. Вклад «Выгодный» разрешает снятие средств в течение срока действия вклада, но выплата процентов на сумму, снятую с депозита до момента начисления процентов, не производится. Начисления процентов по каждому вкладу осуществляются в конце каждого календарного года. Гражданин N планирует положить средства в банк, зная, что 50 тыс. руб. он должен будет снять с депозита в начале второго года. Распределить свои средства между вкладами он может в любой пропорции. Считая, что гражданин N стремится получить наибольший доход с депозита, определите, как следует ему распределить свои средства по предлагаемым вкладам?
Решение
Каждый рубль, размещённый в банке на вклад «Выгодный» к моменту закрытия вклада принесёт $1 imes 1.2 imes 1.2=1.44$ рубля. Каждый рубль, размещённый в банке на вклад «Доходный» принесёт к моменту закрытия вклада $1\times 1.3\times 1.1=1.43$ рубля. Поэтому даже при наличии ограничения на необходимость снятия $50$ тыс. рублей в начале второго года все денежные средства следует разместить на вкладе «Выгодный». Альтернативное решение: По условию начисление происходит по сложному проценту. Поскольку деньги можно снимать только с «Выгодного» вклада, то гражданину $N$ логично положить $41666, (6)$ руб. именно на этот вклад. Предположим, что дополнительно гражданин $N$ кладет некоторую сумму денег $X$ на этот же вклад, а остальную сумму ($158 333, (3)$ руб. - $X$) – на вклад «Доходный». Тогда суммарный доход гражданина $N$ будет равен: $$[ 41666, 6 +X \cdot 1.2-50000 \cdot 1.2 + 158333. 3 -X \cdot1.3\cdot1.1 - 150 000]$$ $$1.44X+76416. 6 -1.43X \to \underset{X\le 158333,(3)}{max} $$ Выражение достигает максимума при $X=158333, (3).$ Следовательно, гражданин $N$ получит максимальный доход, если положит все деньги на «Выгодный» вклад, при этом его доход составит $78$ тыс. руб. Критерии проверки: - За полное решение – максимальный балл, 25 баллов - Выписан только ответ – 2 балла - Посчитан один из возможных вариантов распределения денег по вкладам с расчетами дохода гражданина $N$ – 5 баллов - Посчитаны два варианта из возможных вариантов распределения денег – 5+3 = 8 баллов - Посчитано множество вариантов распределения денег, но отсутствует решение и аргументация в общем виде – 20 баллов - Рассчитана минимальная сумма, которую гражданин $N$ должен положить на вклад «Выгодный», чтобы в начале второго года он мог снять $50$ тыс. руб. (т.е. 41 666.6) – плюс 5 баллов Примечания - аргумент, что $288$ тыс. (если все деньги положить на «Выгодный») > $286$ тыс. (если все деньги положить на «Доходный») не является обоснованием в общем случае и не принимает во внимание тот факт, что гражданин $N$ должен снять в начале второго года 50 тыс. руб., поэтому такие аргументы оценивались в 5 баллов - если участник перепутал условия задачи, то максимальный балл за такие решения составил 15 баллов