Борьба за скидку
Даня продаёт Аристарху Ксенофонтовичу некоторый специфический товар. Полезность товара для Дани равна нулю, а для Аристарха Ксенофонтовича равна $v>0$. Между продавцом и покупателем начинается торг. Сначала Даня решает, какую первоначальную цену на товар $p$ ему предложить. Затем Аристарх решает, покупать ли товар по этой цене или начинать торговаться, выпрашивая скидку. Если Аристарх начинает торговаться, он гарантированно может добиться от Дани скидки в размере $x$, если потратит время и усилия, денежный эквивалент которых составляет $x^2/p$ (чем больше первоначальная цена $p$, тем проще торговаться — издержки на усилия меньше). Выпросив скидку $x$, Аристарх затем покупает товар по цене $p-x$. Таким образом, если Аристарх покупает товар, его полезность равна $v-(p-x)-x^2/p$, а полезность Дани равна $p-x$; если он не покупает товар, то полезность обоих равна нулю. Если Аристарху безразлично, покупать товар или нет, он покупает товар. Эта информация известна обоим; каждый принимает решения так, чтобы его полезность была максимальна (с учётом ответного поведения другого участника).
Подпункты
а)
Какую цену $p$ назначит Даня? Будет ли Аристарх торговаться, и если да, то какого размера скидки $x$ он добьётся?
б)
Допустим, Даня тоже несёт альтернативные издержки времени, потраченного на торг; они составляют $\alpha\cdot x$. При каких значениях $\alpha\geq 0$ Даня будет пытаться продать товар Аристарху?
Решение
а) Допустим, Даня назначил цену $p$. Найдем оптимальное действие Аристарха. Если он будет торговаться, его полезность будет равна $v-(p-x)-x^2/p$. Относительно $x$ эта функция квадратичная, и ее графиком является парабола с ветвями вниз. Оптимальное значение $x$ находится в вершине параболы: $x^\star=p/2$. При этом максимальная полезность Аристарха равна $v-(p-p/2)-p/4=v-3p/4$. Она неотрицательна при $p\leqslant 4v/3$. Таким образом, при $p\leqslant 4v/3$ Аристарх будет торговаться и добиваться скидки $p/2$, а при $p>4v/3$ откажется от покупки товара. В первом случае полезность Дани будет равна $p-p/2=p/2$ (возрастающая функция), а во втором — нулю. Таким образом, оптимальной для Дани является наибольшая цена $p$, при которой Аристарх не откажется сразу же, то есть $p=4v/3$. При этом Аристарх добьется скидки $x=2v/3$. б) В этом случае оптимальное поведение Аристарха не меняется, и поэтому полезность Дани при назначении цены $p\leqslant 4v/3$ будет равна $$p-x-\alpha x=p-p/2-\alpha p/2=p(1-\alpha)/2.$$ Таким образом, Даня будет пытаться продать товар при $\alpha\leqslant 1$.