Девяносто девять цен
В магазине продаются 99 разных товаров. Магазин закупает товар i ($i=1, 2, \ldots, 99$) по цене $500/i$ рублей. Если магазин назначит цену $p$ на товар $i$, покупатели купят $i/p^2$ единиц этого товара. Магазин стремится получить максимальную прибыль (разницу между своими доходами и своими расходами на закупку) от перепродажи товаров. Допустим, магазин может назначать на товары любые цены. Какую цену он назначит на товар с номером i ?
Решение
Если магазин назначит цену $p_i$ за товар $i$, то будет куплено $q_i=i/p^2$ единиц товара. Тогда его прибыль от продажи этого товара будет равна $$\pi_i=\frac{i}{p_i^2}\left(p_i - \frac{500}{i}\right)=\frac{i}{p_i^{\phantom{1}}}- \frac{500}{p_i^2}.$$ Проведем замену $t=1/p_i$, получим $\pi_i=i t - 500t^2$. Это квадратичная парабола с ветвями вниз, ее вершина находится в точке $$ t^\star=\frac{i}{1000}, \qquad p_i^\star=\frac{1000}{i}. $$ Ответ: 1000/i