Счастливые часы
Сеть кафе «У Аристарха» имеет сотни заведений по всему городу. Владелец сети, Аристарх, заметил, что в разное время дня разное количество посетителей хотят заказать фирменное блюдо его ресторанов. Все рестораны открываются в 12 часов, и если одна порция стоит $p$ рублей, в первый час работы посетители покупают $q=132-p$ тыс. порций во всей сети. В последний час работы кафе (с 21 до 22 часов) посетители заказывают $q=141-p$ тыс. порций. Аристарх вывел следующую зависимость купленных порций от цены и времени: если в период с $t$ до $t+1$ часов ($t$ — целые числа от 12 до 21) цена составляет $p$ рублей за порцию, то общее количество купленных порций за это время составляет $q=120+t-p$ тыс. Производство одной порции стоит 40 рублей, владелец сети старается сделать так, чтобы прибыль (разница между его доходами и расходами) за день работы была максимальной. Считайте, что кроме фирменного блюда в кафе ничего не продается.
Подпункты
а)
Какую цену нужно установить Аристарху, если он не хочет менять ее в течение дня?
б)
Сын Аристарха, Ксенофонт, предложил папе ввести в его ресторанах «счастливые часы»: назначать одну цену на фирменное блюдо утром (с открытия до $X$ часов) и другую цену вечером (с $X$ часов до закрытия). «Счастливыми часами» называется тот период, когда цена ниже. Не проводя расчетов, объясните, в какое время (в первой части дня или во второй) Аристарху нужно устроить «счастливые часы», и предположите, в какую сторону утренняя и вечерняя цена будет отличаться от цены в пункте а). Приведите содержательное объяснение, почему прибыль при такой политике может увеличиться.
в)
Рассчитайте оптимальную длину счастливых часов.
Решение
а) (8 баллов за пункт) Считая, что в каждый из рабочих часов в кафе продается ненулевое количество порций, найдем общий спрос: $Q=(132-p)+(133-p)+⋯+(141-p)=1365-10p.$ (4 балла) Тогда прибыль за день будет равна: $π=(1365-10p)(p-40).$ Эта функция является квадратичной параболой с ветвями вниз, вершина ее будет максимумом (1 балл) . Она расположена посередине между нулями функции: $p=(136,5+40)/2=88,25.$ (3 балла) Это и есть оптимальная цена. б) Можно заметить, что по мере приближения вечера спрос на фирменное блюдо становится численно больше, а эластичность его снижается. Поскольку издержки не меняются в течение дня, это означает, что цена должна быть выше вечером. (5 баллов) в) (12 баллов за пункт) Пусть T — длина счастливых часов,$ p_1$ — цена во время счастливых часов, $p_2$ — цена после их окончания. Тогда спрос в счастливые часы составит: $Q_1=(132-p_1 )+(133-p_1 )+⋯+(132+(T-1)-p_1 )=T⋅(131,5+T/2-p_1 )$ (3 балла) (свернуто по формуле суммы арифметической прогрессии: количество членов, умноженное на среднее арифметическое между первым и последним). Спрос после окончания счастливых часов составит: $Q_2=(132+T-p_2 )+⋯+(141-p_2 )=(10-T)⋅(136,5+T/2-p_2 )$. (3 балла) Тогда функция прибыли имеет вид: $π=T⋅(131,5+T/2-p_1 )(p_1-40)+(10-T)⋅(136,5+T/2-p_2 )(p_2-40)$. (1 балл) Допустим, T — какая-то длина счастливых часов. Тогда цены, максимизирующие прибыль, можно найти как вершины двух парабол с ветвями вниз — первого и второго слагаемого в функции прибыли. При максимизации всей функции ни одна из этих цен не оказывает влияния на «чужую» часть прибыли, поэтому параболы можно максимизировать отдельно. (рассуждение о параболах и способе максимизации — 3 балла ) Получаем: $p_1^*=85,75+T/4$, $p_2^*= 88,25+T/4. $ Осталось подставить найденные значения в функцию прибыли: $π=T⋅(131,5+T/2-(85,75+T/4))(p_1-40)+(10-T)⋅(136,5+T/2-(88,25+T/4))(p_2-40).$ Упрощая, получаем: $π=T⋅(45,75+T/4)^2+(10-T)⋅(48,25+T/4)^2=5/8 (-T^2+10T+37249).$ Эта квадратичная парабола с ветвями вниз имеет максимум в точке $T^*=5$ (2 балла) , это и есть оптимальная длина счастливых часов. Можно убедиться, что цена в первой части дня равна 87, а во второй части дня цена равна 89,5, то есть вечерняя цена, как и было предсказано в пункте б), выше.