Всё по P рублей!
21 февраля вы решали задачу «99 цен» , в которой получалось, что магазин поставит на товар с номером $i$ цену $p_i=1000/i$ рублей. Напомним условие: В магазине продаются 99 разных товаров. Магазин закупает товар $i$ ($i=1, 2, \ldots, 99$) по цене $500/i$ рублей. Если магазин назначит цену $p$ на товар $i$, покупатели купят $i/p^2$ единиц этого товара. Магазин стремится получить максимальную прибыль (разницу между своими доходами и своими расходами на закупку) от перепродажи товаров. Допустим, магазин может назначать на товары любые цены. Какую цену он назначит на товар с номером $i$? Сегодня вам предлагается проанализировать в рамках того же условия несколько новых ценовых политик. Мы будем говорить, что какая-то ценовая политика выгодна, если она не уменьшает общую прибыль магазина по сравнению со случаем, который был рассмотрен вами 21 февраля. Находясь на отдыхе за границей, владелец магазина увидел там необычные супермаркеты, в которых все товары продавались по одной и той же цене, и решил сделать у себя то же самое, не меняя ассортимент продаваемых товаров. Владелец рассчитывает, что необычная ценовая политика привлечет новых покупателей, в результате чего при цене $p$ в магазине купят не $i/p^2$ единиц, а $K\cdot i/p^2$ единиц товара $i$, где $K\ge 1$.
Подпункты
а)
Допустим, $K=1$. Докажите, что «политика одной цены» не будет выгодна магазину.
б)
Обозначим за $K^\star$ минимальное значение $K$, при котором «политика одной цены» выгодна владельцу магазина. Для каждого $K\geqslant K^\star$ найдите цену $P$, которую он назначит на все товары. Будут ли среди продаваемых товаров такие, цена на которые для потребителей будет ниже, чем цена закупки для мага
на? Если да, укажите их номера.
на? Если да, укажите их номера.
в)
Рассмотрим теперь «политику двух цен», то есть политику, при которой на каждый из товаров назначена либо цена $P_1$, либо цена $P_2$. Пусть спрос на каждый товар такой же, как при политике одной цены. Обозначим за $K^{\star\star}$ минимальное значение $K$, при котором «политика двух цен» выгодна владельцу магазина. Основываясь на экономической интуиции и не проводя расчетов, сравните $K^\star$ и $K^{\star\star}$.
Решение
а) При $K=1$ спрос на каждый из товаров точно такой же, как и в случае, когда на каждый товар устанавливается своя цена. Допустим, при политике одной цены магазин установил оптимальную цену $P^{\star}$ и прибыль равна $\pi$. Заметим, что в ситуации, когда магазин устанавливал на каждый товар свою цену, он мог сделать все цены, равными $P^{\star}$, и прибыль также была бы равна $\pi$. Однако, как мы знаем, это решение не являлось оптимальным, так как оптимальная цена на товар $i$ равна $1000/i$. Значит, $\pi$ меньше, чем максимальная прибыль фирмы в предыдущей задаче. б) При цене $P$ суммарная прибыль магазина будет равна $$\sum_{i=1}^{99} K\frac{i}{P^2}\left(P-\frac{500}{i}\right)=K\sum_{i=1}^{99} \left(\frac{i}{P}-\frac{500}{P^2}\right).$$ Заметим, что оптимальная цена не будет зависеть от константы $K$. Таким образом, нам нужно найти максимум функции $$\frac{1+2+\ldots+99}{P}-\frac{99\cdot 500}{P^2}=\frac{99\cdot 50}{P}-\frac{99\cdot 500}{P^2}.$$ Это квадратичная функция относительно $1/P$, и ветви параболы направлены вниз. Значит, оптимум достигается в вершине параболы $1/P=50/1000=1/20$. Отсюда получаем, что независимо от $K$, $P=20$. Продаваться <<в убыток>> будут товары, для которых $500/i>20$, то есть товары 1, 2, $\ldots$, 24. в) Политика одной цены невыгодна магазину при $K=1$, так как магазин лишается возможности устанавливать цену продажи в зависимости от закупочной цены и спроса. Политика одной цены станет выгодной, только если величина $K$ будет достаточно большой, чтобы перекрыть эти потери. Таким образом, $K^{\star}$ отражает как раз величину потерь от того, что в случае единой цены (почти) каждый из товаров продается по неоптимальной цене. Аналогично, $K^{\star\star}$ отражает величину потерь от неоптимального ценообразования при политике двух цен. При политике двух цен, однако, потери от неоптимального ценооборазования меньше. Действительно, теперь магазин назначит цену $P_1$ на относительно дешевые товары и $P_2>P_1$ на относительно дорогие, что нельзя было сделать при политике одной цены. В итоге цена на каждый из товаров будет ближе к своей оптимальной цене $1000/i$, чем при политике одной цены. Таким образом, $K^{\star\star} < K^\star$.