Задача 2 ОЧ-2015 (11 класс)

Функция рыночного спроса: $$q_{рын}= \begin{cases} 90-3p&, p<20\\ 50-p&, 20\le p<50 \\ \end{cases} $$ Издержки, которые несет Иван: $FC=200+85∗n$, $n$ - количество используемых серверов $$VC=2Q$$ Ситуация 1. Единая цена для двух групп Прибыль фирмы: $$Pr=(30-13Q)\times Q-2Q-200-85n \to max$$ $$(30−23Q)-2=0$$ Количество, максимизирующее прибыль фирмы: $Q^{*}=42$. Тогда цена, которую Иван должен назначить, составляет $p^{*}=30-\dfrac{1}{3}∗42=16$. Заметим, что полученная цена удовлетворяет первому участку функции рыночного предложения. Также полезно заметить, что мы нашли именно максимум прибыли, потому что функция прибыли - парабола, ветвями вниз. Однако с одним сервером Иван не сможет продавать весь этот выпуск. Таким образом, перед ним встает вопрос: продавать только $40$ аудиокниг, оплачивая только $1$ сервер, или дополнительно приобрести еще один сервер и продавать оптимальное количество. Сравним прибыли Ивана в этих двух случаях. Если используется $1$ сервер: $Pr=(30-\dfrac{1}{3}∗40)∗40-2∗40-200-85∗1=\dfrac{905}{3}=301\dfrac{2}{3}$ Если используются 2 сервера: $Pr=(30-\dfrac{1}{3}∗42)∗42-2∗42-200-85∗2=218$ Поэтому Ивану выгоднее использовать только $1$ сервер. Его прибыль при этом составит $Pr=301\dfrac{2}{3}$. Проверим второй участок предложения: $$Pr=(50-Q)*Q-2Q-200-85n\to max$$ $$(50-2Q)-2=0$$ Количество, максимизирующее прибыль фирмы: $Q^{*}=24$. Тогда цена, которую Иван должен назначить, составляет $p^{*}=50−24=26$. Заметим, что полученная цена удовлетворяет второму участку функции рыночного предложения. При $Q^{*}=24$ Ивану потребуется всего $1$ сервер. Его прибыль составит: $Pr=24∗26-2∗24-200-85∗1=291$. Это меньше, чем максимальная прибыль в предыдущем пункте. Ситуация 2. Разные цены для двух групп. $$Pr=(50-q_{1})∗q_{1}+(20-\dfrac{1}{2}q_{2})∗q_{2}-2(q_{1}+q_{2})-200-85n\to max⁡(q_{1},q_{2})$$ Функция прибыли - сумма двух парабол ветвями вниз. Максимум прибыли достигается, если каждая из парабол достигает максимума. Это происходит при условиях: $$(50-2q_{1})-2=0$$ $$(20-q_{2})-2=0$$ Т.е. при $q_{1}=24$ и $q_{2}=18$. Суммарное продаваемое количество $Q=24+18=42$, что требует использования двух серверов. Тогда прибыль фирмы составит: $$Pr=(50-24)∗24+(20-12∗18)∗18-2(24+18)-200-85∗2=368$$ Как и в первом случае, необходимо сравнить полученную прибыль с прибылью, которую можно получить, используя только один сервер. Тогда необходимо решить следующую задачу: $$Pr=(50-q_{1})∗q_{1}+(20-\dfrac{1}{2}q_{2})∗q_{2}-2(q_{1}+q_{2})-200-85n\to max(q_{1},q_{2})$$ $$\text{при условии } q_{1}+q_{2}=40$$ Выражая одно количество через другое и подставляя в функцию прибыли, получаем: $$Pr=(50-(40-q_{2}))∗(40-q_{2})+(20-\dfrac{1}{2}q_{2})∗q_{2}-2∗40-200-85n\to max⁡(q_{2})$$ $$Pr=(10+q_{2})(40-q_{2})+20q_{2}-\dfrac{1}{2}q_{2}^{2}−280−85=50q_{2}−\dfrac{3}{2}q_{2}^{2}+35$$ $$50−3q_{2}=0$$ Оптимальное количество в этом случае: $q_{2}=\dfrac{50}{3}=16\dfrac{2}{3}$. Однако количество продаваемых аудиокниг, естественно, может быть только целым числом. Поэтому необходимо сравнить два ближайших целых значения: 1) $q_{2}=16$ Тогда $q_{1}=40-16=24. p_{1}=50-24=26;p_{2}=20−12∗16=12.$ Прибыль фирмы составит: $Pr=50∗16-\dfrac{3}{2}∗16^{2}+35=451$ 2)$q_{2}=17$ Тогда $q_{1}=40−17=23. p_{1}=50-23=27;p_{2}=20−\dfrac{1}{2}∗17=11\dfrac{1}{2}.$ Прибыль фирмы составит: $Pr=50∗17−\dfrac{3}{2}∗17^{2}+35=451\dfrac{1}{2}.$ Таким образом, прибыль с использованием одного сервера превосходит прибыль при использовании двух серверов. Поэтому прибыль Ивана составит $451\dfrac{1}{2}$. Будет продано $q_{2}=17$ по цене $p_{2}=11\dfrac{1}{2}$ и $q_{1}=23$ по цене $p_{1}=27$. 3) Если аренда сервера теперь составляет $1$ читалик. Ситуация 1: $PR_{1 сервер}=301\dfrac{2}{3}+85−1=385\dfrac{2}{3}; PR_{2 сервера}=218+85∗2−2=386.$ Теперь выгоднее продавать $42$ аудиокниги, используя $2$ сервера. Ситуация 2: $PR_{1 сервер}=451\dfrac{1}{2}+85−1=535\dfrac{1}{2}; PR_{2 сервера}=368+85∗2−2=536.$ Теперь выгоднее использовать два сервера. Продавать $q_{1}=24$ и $q_{2}=18.$