Задача 1 ОЧ-2016 (10 класс)
На рынке совершенной конкуренции в стране Ботанляндия спрос студентов на учебники имеет вид $Q^D = 40 − 0,2p$, где $Q$ – величина спроса в штуках, а $p$ – цена учебника в рублях. Король страны решил нажиться на бедных школьниках и студентах и ввести налог в виде процента от цены покупателя (акциз). До введения налога эластичность спроса в точке равновесия равнялась $(−9/11)$, эластичность предложения (функция которого является линейной) до введения налога по абсолютной величине превышала эластичность спроса в $50t$ раз, где $t$ – величина введенного позднее акциза $(0 < t < 1)$ После введения акциза($t$) эластичность предложения стала равна $88/9$, а равновесный объем упал на 4 единицы. Сколько денег собрал король с помощью налога? Может ли король изменить каким-либо образом налоговую ставку так, чтобы увеличить сборы? Эластичностью спроса по цене называется следующая величина: $E_D^P = \frac{\bigtriangleup Q_D}{\bigtriangleup P} \cdot \frac{P}{Q_D}$ , аналогично эластичность предложения равна $E_S^P = \frac{\bigtriangleup Q_S}{\bigtriangleup P} \cdot \frac{P}{Q_S}$
Решение
1. Эластичность спроса вычисляется по формуле (допускается также поиск через т.н. геометрический смысл эластичности): $E = −0,2 \cdot \dfrac{p}{40−0,2p} = −\dfrac{9}{11}$ Откуда: $p = 90$, $Q = 22$ Тогда: $Q' = 18, p' = 110$ Функция предложения линейна. Обозначим её как $Q^S = a + b \cdot p$ В исходной точке эластичность: $E = b \cdot \frac{p}{a+bp} = b \cdot \frac{90}{22} = \frac{9}{11} \cdot 50t$ В полученной точке: $E = b \cdot \frac{p}{a+bp} = b \cdot \frac{110(1−t)}{18} = \frac{88}{9}$ (подставляем цену для продавцов) Откуда: $b = 2$, $t = 0,2$. Тогда налогов король собрал следующую сумму: $T = t \cdot P \cdot Q = 0,2 \cdot 110 \cdot 18 = 396$ 2. Может. В качестве обоснования можно привести любой подходящий пример с обоснованием. Функция предложения (находится из вышеуказанных уравнений): $Q^S = 2P − 158$ Функция спроса: $Q^D = 40 − 0,2p$ Пусть он, например, введёт потоварный налог в размере $60,5$ единиц $\Bigl( \Bigr.$или акцизный в размере $\frac{60,5}{145}\Bigl. \Bigr)$ – соответствует наибольшему налоговому сбору. Тогда $Q^* = 11$. Налоговые сборы равны $665,5$. В качестве ответа годится любой иной обоснованный пример, показывающий, что ставка не является оптимальной.