Фирма $F$ — монополист
Фирма $F$ — монополист. $q$ — объём выпуска (и продаж) в месяц, $P$ — цена за единицу. Спрос: $q = 72 - 3P$.
Если фирма производит положительный объём ($q>0$), она несёт фиксированные ежемесячные издержки настройки оборудования $F=30$.
Переменные издержки имеют ступенчатую структуру :
• если $0<q\le 6$, каждая единица стоит 10 ден. ед.;
• если $6<q\le 12$, первые 6 единиц стоят 10 ден. ед. за единицу, а каждая единица сверх 6 — 12 ден. ед.;
• если $q>12$, первые 6 единиц стоят 10 ден. ед. за единицу, следующие 6 единиц (с 7-й по 12-ю) — 12 ден. ед. за единицу, а каждая единица сверх 12 — 14 ден. ед.
Изначально производственные мощности ограничены: $q\le 12$.
Консалтинговая компания предлагает фирме планы (за ежемесячную комиссию $Y$):
• План A: снижает все переменные издержки в 2 раза при любом объёме выпуска (то есть 10$\to$5, 12$\to$6, 14$\to$7). Фиксированные издержки $F$ и ограничение мощности $q\le 12$ не меняются.
• План B: увеличивает максимальную скорость производства на 50%, так что ограничение мощности становится $q\le 18$. Издержки не меняются.
Фирма может внедрить каждый план отдельно или оба плана одновременно.
Если фирма производит положительный объём ($q>0$), она несёт фиксированные ежемесячные издержки настройки оборудования $F=30$.
Переменные издержки имеют ступенчатую структуру :
• если $0<q\le 6$, каждая единица стоит 10 ден. ед.;
• если $6<q\le 12$, первые 6 единиц стоят 10 ден. ед. за единицу, а каждая единица сверх 6 — 12 ден. ед.;
• если $q>12$, первые 6 единиц стоят 10 ден. ед. за единицу, следующие 6 единиц (с 7-й по 12-ю) — 12 ден. ед. за единицу, а каждая единица сверх 12 — 14 ден. ед.
Изначально производственные мощности ограничены: $q\le 12$.
Консалтинговая компания предлагает фирме планы (за ежемесячную комиссию $Y$):
• План A: снижает все переменные издержки в 2 раза при любом объёме выпуска (то есть 10$\to$5, 12$\to$6, 14$\to$7). Фиксированные издержки $F$ и ограничение мощности $q\le 12$ не меняются.
• План B: увеличивает максимальную скорость производства на 50%, так что ограничение мощности становится $q\le 18$. Издержки не меняются.
Фирма может внедрить каждый план отдельно или оба плана одновременно.
Подпункты
а)
Найдите максимальную ежемесячную прибыль фирмы при исходных условиях.
б)
Компания предлагает фирме план A и взимает комиссию $Y$ каждый месяц. Найдите максимальное значение $Y$, которое согласится платить фирма.
в)
Вместо плана A фирме предлагают план B. Найдите максимальное значение $Y$ в этом случае.
г)
У фирмы есть возможность внедрить оба плана одновременно. Найдите максимальное значение $Y$ в этом случае.
Решение
Спрос: $q=72-3P \;\Rightarrow\; P(q)=24-\frac{q}{3}$.
Тогда выручка
\[
TR(q)=P(q)\,q=\left(24-\frac{q}{3}\right)q=24q-\frac{q^2}{3}.
\]
Фиксированные издержки $F=30$ платятся при $q>0$. Переменные издержки ступенчаты.
а) Исходные условия ($q\le 12$).
Для $6<q\le 12$ переменные издержки равны
\[
VC(q)=10\cdot 6+12(q-6)=12q-12,
\]
поэтому полные издержки
\[
TC(q)=F+VC(q)=30+(12q-12)=12q+18.
\]
Прибыль на этом участке:
\[
\pi(q)=TR(q)-TC(q)=\left(24q-\frac{q^2}{3}\right)-(12q+18)
=12q-\frac{q^2}{3}-18.
\]
Это парабола, ветви вниз. Вершина достигается при
\[
q^*=\frac{12}{2/3}=18,
\]
но из-за ограничения мощности $q\le 12$ максимум на допустимом множестве достигается в точке $q=12$.
Тогда
\[
P^*=24-\frac{12}{3}=20, TR(12)=20\cdot 12=240,
\]
\[
TC(12)=12\cdot 12+18=162, \pi_0^*=240-162=78.
\]
(Заметим, что при $q=0$ прибыль равна 0, поэтому выпуск $q=12$ действительно лучше.)
б) Только план A ($q\le 12$).
План A снижает переменные издержки в 2 раза: $10\to 5$, $12\to 6$, $14\to 7$.
Для $6<q\le 12$:
\[
VC_A(q)=5\cdot 6+6(q-6)=6q-6,
\]
\[
TC_A(q)=F+VC_A(q)=30+(6q-6)=6q+24.
\]
Тогда прибыль:
\[
\pi_A(q)=TR(q)-TC_A(q)=\left(24q-\frac{q^2}{3}\right)-(6q+24)
=18q-\frac{q^2}{3}-24.
\]
Вершина при
\[
q^*=\frac{18}{2/3}=27>12,
\]
поэтому на $[0,12]$ максимум достигается при $q=12$:
\[
\pi_A^*=TR(12)-TC_A(12)=240-(6\cdot 12+24)=240-96=144.
\]
С учётом комиссии $Y$ фирма получает $144-Y$ и согласится на план A, если
\[
144-Y\ge \pi_0^*=78 \;\Rightarrow\; Y\le 66.
\]
Следовательно, $\;Y_{\max}=66$.
в) Только план B ($q\le 18$).
План B увеличивает мощность до $q\le 18$, издержки как в исходном случае.
Для $12<q\le 18$:
\[
VC(q)=10\cdot 6+12\cdot 6+14(q-12)=14q-36,
\]
\[
TC(q)=F+VC(q)=30+(14q-36)=14q-6.
\]
Прибыль на этом участке:
\[
\pi_B(q)=TR(q)-TC(q)=\left(24q-\frac{q^2}{3}\right)-(14q-6)
=10q-\frac{q^2}{3}+6.
\]
Вершина:
\[
q^*=\frac{10}{2/3}=15,
\]
и она лежит в допустимом диапазоне $(12,18]$, значит оптимальный выпуск $q_B^*=15$.
Тогда
\[
P_B^*=24-\frac{15}{3}=19, TR(15)=19\cdot 15=285,
\]
\[
TC(15)=14\cdot 15-6=204, \pi_B^*=285-204=81.
\]
С учётом комиссии прибыль $81-Y$. Условие согласия:
\[
81-Y\ge 78 \;\Rightarrow\; Y\le 3.
\]
Следовательно, $\;Y_{\max}=3$.
г) Планы A и B вместе ($q\le 18$).
Теперь переменные издержки в 2 раза ниже, а мощность $q\le 18$.
Для $12<q\le 18$ после плана A:
первые 6 единиц по 5, следующие 6 единиц по 6, далее по 7. Тогда
\[
VC_{AB}(q)=5\cdot 6+6\cdot 6+7(q-12)=7q-18,
\]
\[
TC_{AB}(q)=F+VC_{AB}(q)=30+(7q-18)=7q+12.
\]
Прибыль:
\[
\pi_{AB}(q)=TR(q)-TC_{AB}(q)=\left(24q-\frac{q^2}{3}\right)-(7q+12)
=17q-\frac{q^2}{3}-12.
\]
Вершина:
\[
q^*=\frac{17}{2/3}=25.5>18,
\]
поэтому на $[0,18]$ максимум достигается при $q=18$:
\[
P_{AB}^*=24-\frac{18}{3}=18, TR(18)=18\cdot 18=324,
\]
\[
TC_{AB}(18)=7\cdot 18+12=138, \pi_{AB}^*=324-138=186.
\]
С комиссией прибыль $186-Y$. Условие согласия:
\[
186-Y\ge 78 \;\Rightarrow\; Y\le 108.
\]
Следовательно, $\;Y_{\max}=108$.
Ответ:
$\pi_0^*=78$;
$Y_{\max}^{(A)}=66$;
$Y_{\max}^{(B)}=3$;
$Y_{\max}^{(A+B)}=108$.
Тогда выручка
\[
TR(q)=P(q)\,q=\left(24-\frac{q}{3}\right)q=24q-\frac{q^2}{3}.
\]
Фиксированные издержки $F=30$ платятся при $q>0$. Переменные издержки ступенчаты.
а) Исходные условия ($q\le 12$).
Для $6<q\le 12$ переменные издержки равны
\[
VC(q)=10\cdot 6+12(q-6)=12q-12,
\]
поэтому полные издержки
\[
TC(q)=F+VC(q)=30+(12q-12)=12q+18.
\]
Прибыль на этом участке:
\[
\pi(q)=TR(q)-TC(q)=\left(24q-\frac{q^2}{3}\right)-(12q+18)
=12q-\frac{q^2}{3}-18.
\]
Это парабола, ветви вниз. Вершина достигается при
\[
q^*=\frac{12}{2/3}=18,
\]
но из-за ограничения мощности $q\le 12$ максимум на допустимом множестве достигается в точке $q=12$.
Тогда
\[
P^*=24-\frac{12}{3}=20, TR(12)=20\cdot 12=240,
\]
\[
TC(12)=12\cdot 12+18=162, \pi_0^*=240-162=78.
\]
(Заметим, что при $q=0$ прибыль равна 0, поэтому выпуск $q=12$ действительно лучше.)
б) Только план A ($q\le 12$).
План A снижает переменные издержки в 2 раза: $10\to 5$, $12\to 6$, $14\to 7$.
Для $6<q\le 12$:
\[
VC_A(q)=5\cdot 6+6(q-6)=6q-6,
\]
\[
TC_A(q)=F+VC_A(q)=30+(6q-6)=6q+24.
\]
Тогда прибыль:
\[
\pi_A(q)=TR(q)-TC_A(q)=\left(24q-\frac{q^2}{3}\right)-(6q+24)
=18q-\frac{q^2}{3}-24.
\]
Вершина при
\[
q^*=\frac{18}{2/3}=27>12,
\]
поэтому на $[0,12]$ максимум достигается при $q=12$:
\[
\pi_A^*=TR(12)-TC_A(12)=240-(6\cdot 12+24)=240-96=144.
\]
С учётом комиссии $Y$ фирма получает $144-Y$ и согласится на план A, если
\[
144-Y\ge \pi_0^*=78 \;\Rightarrow\; Y\le 66.
\]
Следовательно, $\;Y_{\max}=66$.
в) Только план B ($q\le 18$).
План B увеличивает мощность до $q\le 18$, издержки как в исходном случае.
Для $12<q\le 18$:
\[
VC(q)=10\cdot 6+12\cdot 6+14(q-12)=14q-36,
\]
\[
TC(q)=F+VC(q)=30+(14q-36)=14q-6.
\]
Прибыль на этом участке:
\[
\pi_B(q)=TR(q)-TC(q)=\left(24q-\frac{q^2}{3}\right)-(14q-6)
=10q-\frac{q^2}{3}+6.
\]
Вершина:
\[
q^*=\frac{10}{2/3}=15,
\]
и она лежит в допустимом диапазоне $(12,18]$, значит оптимальный выпуск $q_B^*=15$.
Тогда
\[
P_B^*=24-\frac{15}{3}=19, TR(15)=19\cdot 15=285,
\]
\[
TC(15)=14\cdot 15-6=204, \pi_B^*=285-204=81.
\]
С учётом комиссии прибыль $81-Y$. Условие согласия:
\[
81-Y\ge 78 \;\Rightarrow\; Y\le 3.
\]
Следовательно, $\;Y_{\max}=3$.
г) Планы A и B вместе ($q\le 18$).
Теперь переменные издержки в 2 раза ниже, а мощность $q\le 18$.
Для $12<q\le 18$ после плана A:
первые 6 единиц по 5, следующие 6 единиц по 6, далее по 7. Тогда
\[
VC_{AB}(q)=5\cdot 6+6\cdot 6+7(q-12)=7q-18,
\]
\[
TC_{AB}(q)=F+VC_{AB}(q)=30+(7q-18)=7q+12.
\]
Прибыль:
\[
\pi_{AB}(q)=TR(q)-TC_{AB}(q)=\left(24q-\frac{q^2}{3}\right)-(7q+12)
=17q-\frac{q^2}{3}-12.
\]
Вершина:
\[
q^*=\frac{17}{2/3}=25.5>18,
\]
поэтому на $[0,18]$ максимум достигается при $q=18$:
\[
P_{AB}^*=24-\frac{18}{3}=18, TR(18)=18\cdot 18=324,
\]
\[
TC_{AB}(18)=7\cdot 18+12=138, \pi_{AB}^*=324-138=186.
\]
С комиссией прибыль $186-Y$. Условие согласия:
\[
186-Y\ge 78 \;\Rightarrow\; Y\le 108.
\]
Следовательно, $\;Y_{\max}=108$.
Ответ:
$\pi_0^*=78$;
$Y_{\max}^{(A)}=66$;
$Y_{\max}^{(B)}=3$;
$Y_{\max}^{(A+B)}=108$.