Монополия 2
Фирма-монополист имеет функцию общих издержек ܶ$TC=\dfrac{q^3}{3}-4q^2+19q+5$. Спрос на её продукцию задан уравнением $q=10-P$, где $q$ – количество единиц товара (в тоннах), $P$ – цена одной тонны товара (в рублях). Определите объём выпуска монополиста, при котором его прибыль будет максимальной.
Решение
Вариант решения №1 Функция прибыли имеет вид: $PR=(10-q)\cdot q-\left( \dfrac{q^3}{3}-4q^2+19q+5\right). \textbf{ (1 балл)}$ Производная прибыли равна: $PR'=10-2q-q^2+8q-19=-(q-3)^2. \textbf{ (3 балла)}$ Видно, что производная отрицательная во всех точках, кроме точки $q=3$, где она равна нулю. (3 балла) Следовательно, прибыль фирмы убывает (не возрастает в точке $q=3$) с увеличением объёма выпуска. Поэтому наилучшим решением для фирмы будет нулевой объём выпуска. (3 балла) Вариант решения №2 Предельный доход фирмы равен: $MR=10-2q$ (1 балл) . Предельные издержки фирмы равны: $MC=q^2-8q+19$ (1 балл) . Предельный доход равен предельным издержкам в точке: $q=3$ (2 балла) . Во всех остальных точках предельный доход меньше предельных издержек (3 балла, этот факт может быть показан путем решения соответствующего неравенства ИЛИ путем аккуратного изображения графиков $MR \text{ и } MC$ на одном рисунке). Следовательно, прибыль фирмы убывает (не возрастает в точке $q=3$) с увеличением объёма выпуска. Поэтому наилучшим решением для фирмы будет нулевой объём выпуска. (3 балла) Ответ: 0