Всё тайное становится явным
В порядковой (ординалистской) теории полезности есть два утверждения, которые постоянно применяются и в теоретических рассуждениях, и при решении задач, однако крайне редко доказываются. На эти доказательства не находится времени ни в школьной экономике, ни в экономических бакалавриатах. Кроме того, эти утверждения предпочитают давать без доказательства и авторы большинства учебников.
Подпункты
а)
В порядковой теории полезности к функции полезности $u(x,y)$ можно применить любое положительное монотонное преобразование $g(\cdot)$ (например, $g$ может быть квадратным корнем или натуральным логарифмом), то есть превратить её в функцию $u_1(x,y)=g(u(x,y))$. Причина в том, что предпочтения, репрезентируемые функцией полезности, от такого преобразования не меняются. Однако нетрудно заметить, что эти преобразования искажают (меняют) функции предельной полезности $MU_X(x,y)$ и $MU_Y(x,y)$. Тогда почему после применения преобразования $g(\cdot)$ мы по-прежнему имеем право пользоваться так называемым вторым законом Госсена (эквимаржинальным принципом оптимального выбора): $$\frac{MU_X(x^*,y^*)}{P_X}=\frac{MU_Y(x^*,y^*)}{P_Y}?$$
б)
Предельная норма замещения ($MRS$) убывает — в порядковой теории полезности это утверждение обычно принимается в качестве аксиомы. Геометрически оно означает, что [при условии локальной ненасыщаемости обоими благами] кривые безразличия должны быть вогнутыми (иначе говоря, выпуклыми к началу координат). Эта интерпретация интуитивно понятна, однако, её строгий вывод вовсе не очевиден. Как же показать, что если $MRS$ убывает, то кривые безразличия действительно должны быть вогнутыми? Комментарий. В чём экономическое значение этого доказательства? По сути речь о том, чтобы вывести глобальное свойство вогнутости (сбалансированные товарные наборы предпочтительнее экстремальных) из локального свойства убывания предельной нормы замещения (чем больше благ X в товарном наборе фиксированной полезности, тем меньше количество благ Y, которым потребитель готов пожертвовать ради получения одного дополнительного блага X).
Решение
(a) Подсказка. Докажите, что совершение положительного монотонного преобразования $u_1=g(u)$ не изменит отношения функций предельных полезностей. Полное решение см. здесь: http://andrewvorchik.com/1904 . (b) Подсказка. Чтобы можно было работать с понятием "вогнутость", используйте определение Йенсена ( неравенство Йенсена ). Задача - доказать, что если (1) кривая безразличия убывает с ростом $x$ и (2) $MRS$ убывает с ростом $x$, то кривая безразличия лежит ниже любой своей хорды. Это утверждение можно доказать от противного, используя теорему Лагранжа о среднем значении . Полное решение см. здесь: http://andrewvorchik.com/480 .