Eco-friendly
В городе Врн компанией «Pirelli» организовано производство автомобильных покрышек. Спрос на покрышки имеет вид $Q_d=100-P+20\beta$, где $P$ – цена покрышек, а коэффициент $\beta$ определяет степень экологичности производства. $\beta = 1$, если производство экологичное, и $\beta = 0$ в ином случае (то есть может принимать только эти два значения). Функция издержек фирмы также зависит от $\beta$ и имеет вид: $TC=(1+\beta)Q^2+100+50\beta$. (10 баллов) «Pirelli» является монополистом на рынке покрышек в городе Врн. Определите, какое $\beta$ выберет фирма, какой объем продукции произведет и какую прибыль получит. (2 балла) Какой размер аккордной субсидии должно выплатить фирме государство, чтобы производство стало экологичным? Считайте, что если фирме безразлично, делать заводы экологичными или нет, она будет делать первое. Государство выплачивает субсидию только тем фирмам, которые заботятся об экологии! (18 баллов) Теперь правительство региона взяло «Pirelli» под свой контроль и само выбирает коэффициент $\beta$. Оно руководствуется интересами общества и максимизирует совокупную функцию полезности $U=\sqrt{\beta}+\pi$, где $\pi$ – прибыль фирмы. Взаимодействие между государством и компанией устроено так: сначала государство выбирает значение $\beta$, а затем фирма выбирает объем производства. Какое значение $\beta$ установит государство?
Решение
Запишем обратную функцию спроса: $P^d = 100 + 20\beta - Q$. Теперь можем записать функцию прибыли монополиста: $$\Pi = (100 + 20\beta)Q - Q^2 - (1 + \beta)Q^2 - 100 - 50\beta = -(2 + \beta)Q^2 + (100 + 20\beta)Q - 100 - 50\beta \rightarrow \underset{Q \geqslant 0}{max}$$ Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз относительно $Q$, поэтому максимум – в вершине. $$Q^* = \frac{100 + 20\beta}{2(2 + \beta)}$$ Подставим найденное оптимальное количество обратно в прибыль: $$\Pi = -\frac{(2 + \beta)(100 + 20\beta)^2}{4(2 + \beta)^2} + \frac{(100 + 20\beta)^2}{2(2 + \beta)} - 100 - 50\beta = \frac{(100 + 20\beta)^2}{4(2 + \beta)} - 100 - 50\beta$$ Сравним прибыли при $\beta = 0$ и $\beta = 1$: $$\Pi(\beta = 0) = \frac{100 \cdot 100}{4\cdot 2} - 100 = 1250 - 100 = 1150$$ $$\Pi(\beta = 1) = \frac{120 \cdot 120}{4\cdot 3} -100 - 50 = 1200 - 150 = 1050$$ Очевидно, $\Pi(\beta = 0) > \Pi(\beta = 1) \Rightarrow \beta^* = 0,~ \Pi^* = 1150,~ Q^* = \frac{100}{4} = 25$. Аккордная субсидия просто прибавляется к прибыли, как константа. Для того, чтобы фирме было выгодно выбрать экологичное производство, должно выполняться неравенство: $\Pi(\beta = 0) \leqslant \Pi(\beta = 1) + S$, где $S$ – размер субсидии. Подставив числа из предыдущего пункта, получим: $$1150 \leqslant 1050 + S \Rightarrow S \geqslant 100$$ Оптимальный выбор объёма производства в зависимости от $\beta$ не изменится, поэтому прибыль в зависимости от $\beta$ имеет вид: $\Pi = \frac{(100 + 20\beta)^2}{4(2 + \beta)} - 100 - 50\beta$. Тогда совокупная функция полезности имеет вид: $$U = \sqrt{\beta} + \frac{(100 + 20\beta)^2}{4(2 + \beta)} - 100 - 50\beta$$ Сравним полезности при $\beta = 0$ и $\beta = 1$: $$U(\beta = 0) = \frac{100\cdot 100}{4\cdot 2} - 100 = 1150$$ $$U(\beta = 1) = 1 + \frac{120\cdot 120}{4\cdot 3} - 100 - 50 = 1051$$ Видно, что $U(\beta = 0) > U(\beta = 1)$, поэтому государство выберет $\beta^* = 0$