Задача про Поле Чудес
Компания «П. Карло и сыновья» является монополистом на рынке ремесленных изделий из дерева. Спрос на продукцию компании невелик и описывается уравнением $Q = 9/P^2$. Общие издержки, в свою очередь, составляют $TC = Q^{1,5} /3$. Недавно в офис компании поступила информация (распространяемая, по-видимому, небезызвестными К. Базилио и Л. Алисой), что если в полночь прийти на поле Ч. в стране Д. и зарыть там $X$ золотых, то сами золотые, конечно, исчезнут, зато цены на все факторы производства, используемые фирмой, упадут в $X$ раз. Такая перспектива, как и следовало ожидать, сильно заинтересовала менеджеров компании, однако сам П. Карло выразил настороженность: «Даже если это и правда, что-то тут не так». Вам, как главному экономическому советнику П. Карло, предлагается оценить, насколько в действительности выгодным является такое «вложение денег». Если вы считаете, что на поле ходить не стоит, то объясните, почему, в противном случае определите оптимальное значение $X$.
Решение
Найдем первоначальный оптимум фирмы. $ MR = \frac{3} {{2\sqrt Q }} = MC = \frac{{\sqrt Q }} {2} \Rightarrow Q = 3,{\text{ }}\pi = 3\sqrt 3 - 3\sqrt 3 /3 = 2\sqrt 3$. Цены на все факторы производства упадут в $X$ раз, значит, общие издержки при каждом объеме выпуска упадут в $X$ раз: $TC = Q^{1,5} /3X$ $MR = \frac{3} {{2\sqrt Q }} = MC = \frac{{\sqrt Q }} {{2X}} \Rightarrow Q = 3X$. Таким образом, если фирма вложит $X$ золотых, ей будет выгодно производить ровно $3X$единиц продукции. Какова же будет ее прибыль? (Не забудем вычесть потраченные $X$ золотых): $\pi (X) = 3\sqrt {3X} - \sqrt {3X} - X = 2\sqrt {3X} - X$ Естественно, фирма выберет такое $X$, чтобы эта прибыль была максимальна: $\pi (X) = 2\sqrt {3X} - X \to \max \Rightarrow X = 3,Q = 9,P = 1$. Сравним новую прибыль и первоначальную: $ \pi _{new} = 2\sqrt {3 \cdot 3} - 3 = 3 < 2\sqrt 3 \Rightarrow $ вкладывать не стоит! Ответ: Вкладывать не стоит, так как максимальная прибыль при этом меньше первоначальной. Примечание: Более продвинутые школьники могли бы решить эту задачу, выписав функцию $\pi (Q,X)$, и приравняв обе ее частные производные к нулю.