Фирма XYZ является монополистом на рынках всех трех товаров --- $x, y, z$
Фирма XYZ является монополистом на рынках всех трех товаров — $x, y, z$. Спросы на рынках имеют вид:
$X_d = 120-P_x, Y_d = 180-P_y, Z_d = 60-P_z$.
$X_d = 120-P_x, Y_d = 180-P_y, Z_d = 60-P_z$.
Подпункты
а)
Все три товара делаются на одном болоте, поэтому издержки производства такие: $TC(x,y,z) = (x+y+z)^2$. Найдите, какие цены установит монополист.
б)
Настали трудные времена, и если раньше все три товара делались на одном болоте, то теперь, к сожалению, оно оказалось непригодным для производства $z$, поэтому на нем издержки стали: $TC_1(x,y) = (x_1+y_1)^2$. К счастью, фирма нашла другое болото, где можно производить не только $z$, но и $y$; на нем издержки $TC_2(y,z) = (y_2+z_2)^2$. Найдите, какие цены установит монополист теперь (с двумя болотами).
Решение
По сути это производство одного и того же товара и продажа на трех рынках с дискриминацией. Выведем общий
$MR=\begin{cases}
180-2Q & , Q<30
150-Q & , 30<Q<90
120-\frac{2}{3}Q & , 90<Q\leq 180
\end{cases}$
$MC=2Q$, пересечение при $Q=50$: $Y=40,X=10,Z=0$
Ответ: $P_y=140,P_x=110,P_z\geq 60$
Если мы хотим оптимально распределить $y$ между болотами, то $2(x+y_1)=2(z+y_2)$(внутреннее решение), отсюда $x+y_1=z+y_2=0.5(x+y+z)$, и $TC=0.5(x+y+z)^2$. Однако это работает, если $y\geq |x-z|$, иначе $2(x+y_1)=2(z+y_2)$ не выполнится для $y_1,y_2\geq 0$, Запомним это, и пока проигнорируем второй случай:)
Тогда задача как в (a), только с $MC=Q$. Пересечение при $Q=75$.
В этой точке $Y=52.5,X=22.5$, ограничение выше выполнено, значит улучшить данную точку точно нельзя. Ответ: $P_y=127.5,P_x=97.5,P_z\geq 60$
Примечание: функция общего MR здесь выведена не до конца, но нас интересуют только те её куски, где $MR\geq 0$
$MR=\begin{cases}
180-2Q & , Q<30
150-Q & , 30<Q<90
120-\frac{2}{3}Q & , 90<Q\leq 180
\end{cases}$
$MC=2Q$, пересечение при $Q=50$: $Y=40,X=10,Z=0$
Ответ: $P_y=140,P_x=110,P_z\geq 60$
Если мы хотим оптимально распределить $y$ между болотами, то $2(x+y_1)=2(z+y_2)$(внутреннее решение), отсюда $x+y_1=z+y_2=0.5(x+y+z)$, и $TC=0.5(x+y+z)^2$. Однако это работает, если $y\geq |x-z|$, иначе $2(x+y_1)=2(z+y_2)$ не выполнится для $y_1,y_2\geq 0$, Запомним это, и пока проигнорируем второй случай:)
Тогда задача как в (a), только с $MC=Q$. Пересечение при $Q=75$.
В этой точке $Y=52.5,X=22.5$, ограничение выше выполнено, значит улучшить данную точку точно нельзя. Ответ: $P_y=127.5,P_x=97.5,P_z\geq 60$
Примечание: функция общего MR здесь выведена не до конца, но нас интересуют только те её куски, где $MR\geq 0$