Страна Ух
Все ресурсы страны Ух могут быть заняты в двух секторах – производстве иксов или игреков. Чтобы произвести единицу икса, нужны единица капитала и две единицы труда; чтобы произвести единицу игрека, нужны две единицы капитала и единица труда. Проблема в том, что страна в данный момент вообще не располагает капиталом, его тоже нужно произвести с помощью труда: единица труда может произвести две единицы капитала. Трудовые ресурсы страны – 100 единиц труда. Задайте уравнение кривой производственных возможностей для данной страны в координатах труда и капитала.
Решение
Пусть $K_x$ – количество единиц капитала, пущенного на производство икса, $K_y$ – количество единиц капитала, пущенного на производство игрека, $L_x$ – количество единиц труда, пущенного на производство икса, $L_y$ – количество единиц труда, пущенного на производство игрека, $L_k$ – количество единиц труда, пущенного на производство капитала. Производственные функции: $x=\min\{K_x ; L_x /2 \}$, $y=\min\{K_y /2 ; L_y \}$ , кроме того, $K=K_x+K_y=2L_k$ (3 балла за равенство). Очевидно, что при эффективном использовании ресурсов будут справедливы равенства $x=K_x=L_x /2$ и $y=K_y/2=L_y$ (по 1 баллу за каждое равенство). Плюс добавится очевидное уравнение $L_x+L_y+L_k=100$ (2 балла за равенство). Составим систему: $$\begin{cases} x=K_x\\ x=L_x/2\\ y=K_y/2\\ y=L_y\\ K_x+K_y=2L_k\\ L_x+L_y+L_k=100 \end{cases}$$ Из этой системы будет получено уравнение, которым задаётся КПВ. Будем по очереди исключать из системы все переменные, кроме икса и игрека. Начнём с $K_x$ и $L_y$: $$\begin{cases} x=L_x/2\\ y=K_y/2\\ x+K_y=2L_k\\ L_x+y+L_k=100 \end{cases}$$ Теперь избавимся от $L_x$ и $K_y$: $$\begin{cases} x+2y=2L_k\\ 2x+y+L_k=100 \end{cases}$$ Остаётся выкинуть $L_k$: $x+2y=2(100-2x-y)$ $ x+2y=200-4x-2y$ $5x+4y=200$ $ y=50-1.25x$ (3 балла за вывод кривой производственных возможностей). Ответ: $y=50-1.25x$