Железо, дерево и глина
В античном городе N в производстве различных товаров используются три вида ресурсов: Железо (A), Дерево (B) и Глина (C). Кривая, описывающая возможности города в добыче ресурсов, задается уравнением $A^2+B^2+C^2=90000$. Все производимые в городе товары можно разделить на две группы: Военные Товары (X) и Мирные Товары (Y). В среднем для производства единицы Мирных Товаров необходимы 1 единица Железа, 2 единицы Дерева и 2 единицы Глины. Для производства единицы Военных Товаров нужно 4 единицы Железа и 3 единицы Дерева, Глины не нужно вовсе. Война с античным городом М не за горами, поэтому необходимо точно оценить потенциал города в производстве Военной и Мирной продукции. Выведите уравнение кривой производственных возможностей города N в координатах (X,Y) и постройте её график, указав максимально возможные объемы производства военных и мирных товаров.
Решение
Для производства Х единиц Военной и Y единиц Мирной продукции нужно $A = 4X + Y$ единиц Железа, $B = 3X + 2Y$ единиц Дерева, $C = 2Y$ единиц Глины. Подставляя эти выражения в КПВ ресурсов, получаем: $(4X + Y)^2 + (3X + 2Y)^2 + (2Y)^2 = 90000 $ или $25X^2 + 20XY + 9Y^2 = 90000$. Это и есть искомое уравнение КПВ. Решив это уравнение относительно Y, можно получить явную зависимость Y(X): $Y = {{\sqrt {810000 - 125X^2 } - 10X} \over 9}$ (хотя делать это, в принципе, не обязательно). КПВ будет иметь обычный вогнутый вид, max(X) = 60, max(Y) = 100. Ответ: Уравнение кривой, описывающей возможности города в производстве военной и мирной продукции:$Y = {{\sqrt {810000 - 125X^2 } - 10X} \over 9}$. Максимально возможный объем производства военных товаров равен 60, мирных товаров – 100.