Воспроизводимый ограниченный ресурс
В некотором городе действуют два предприятия, которые производят только два товара: товар X и товар Y. Для производства этих товаров используются ресурсы альфа и бета. Количества товаров X и Y, ресурсов альфа и бета беконечно делимые. Известно, что на первом предприятии для производства двух единиц товара Y нужно затратить одну единицу ресурса альфа и четыре единицы ресурса бета, а для производства единицы товара X потребуется только одна единица ресурса альфа. На втором предприятии из единицы ресурса альфа и четырёх единиц ресурса бета можно получить одну единицу товара Y, а из единицы ресурса альфа можно произвести две единицы товара Х. Также известно, что в процессе производства товара X образуется некоторое количество ресурса бета. Так на первом предприятии при производстве трёх единиц товара Xобразуются 4 единицы ресурса бета, а на втором предприятии при производстве трех единиц товара X образуются две единицы ресурса бета. В начале каждого месяца город поставляет каждому предприятию 30 единиц ресурса альфа и 40 единиц ресурса бета, передавать и обменивать ресурсы предприятия не могут. Если на конец месяца у предприятия остаются ресурсы, то город их забирает. Т.е. в начале каждого месяца каждое предприятие имеет в своём распоряжении ровно 30 единиц ресурса альфа и ровно 40 единиц ресурса бета. 1. Постройте график КПВ каждого предприятия. 2. Предположим, в результате острой конкурентной борьбы произошло объединение этих двух предприятий в производственное объединение (ПО). Теперь ПО на тех же условиях получает от города каждый месяц 60 единиц ресурса альфа и 80 единиц ресурса бета. Постройте КПВ производственного объединения. 3. Пусть товар Y продается на рынке по цене 30, а товар X – по цене 10. Какой объём производства каждого товара позволит ПО получить наибольшую выручку и чему будет в этом случае равна выручка? 4. Как должна измениться цена товара Х, чтобы ПО изменило свой выбор относительно объемов производства товаров по сравнению с решением, принятым в п.3? 5. Предположим, что помимо товаров X и Yпроизводственное объединение может также продавать ресурс бета. Пусть цены на товары X и Y соответствуют пункту 3. При какой цене ресурса бета предприятие будет производить товар Y?
Решение
Для начала составим из условия уравнения ресурсозатрат для каждого товара на каждом предприятии (т.е. пока на ограничение кол-ва ресурсов внимания не обращаем). Через «$\beta^+$» будем обозначать дополнительное кол-во ресурса бета, которое предприятие получает, производя товар X. Предприятие 1: $Y = min(2\alpha; \frac{1}{2}\beta$) $X=\alpha$ $\beta^+=\frac{4}{3}X$ Предприятие 2: $Y = min(\alpha; \frac{1}{4}\beta$) $X=2\alpha$ $\beta^+=\frac{2}{3}X$ Заметим, что, если мы вставим в уравнения ресурсозатрат вместо $\alpha$ и $\beta$ количества данных ресурсов, которыми располагают предприятия, мы получим максимальное количество Y, которое могут произвести предприятия при нулевом производстве X (ведь ресурс $\alpha$, необходимый для производства X, мы полностью отправили на производство Y, как и ресурс $\beta$). Но предприятия могут производить не только товар Y, часть ресурса $\alpha$ всё-таки идёт на производство товара X, следовательно, количество ресурса $\alpha$, задействованное в производстве Y уже будет меньше на эту самую часть. И чем больше мы будем производить товара X, тем меньше ресурса α останется на производство товара Y. Однако в процессе производства товара X выделяется ресурс $\beta$, который мы можем направить только на производства товара Y (что мы и сделаем). Отсюда следует, что чем больше мы производим товара X, тем больше ресурса $\beta$ мы можем задействовать на производстве товара Y. Теперь выразим количества $\alpha$ и $\beta$, которые мы можем задействовать в производстве товара Y через объём производства товара X. Предприятие 1: $\alpha=30-X$ $\beta=40+\frac{4}{3}X$ Предприятие 2: $\alpha=30-\frac{X}{2}$ $\beta=40+\frac{2}{3}X$ Теперь для того, чтобы получить уравнения КПВ нужно просто вставить количества α и β в уравнения ресурсозатрат производства товара Y. Предприятие 1: $Y=min(2(30-X); \frac{1}{2}(40+\frac{4}{3}X))=min(60-2X;20+\frac{2}{3}X)$ Предприятие 2: $Y=min((30-\frac{X}{2}); \frac{1}{4}(40+\frac{2}{3}X))=min(30-\frac{X}{2};10+\frac{1}{6}X)$ Ответ на второй вопрос Из ответа на первый вопрос видно, что предприятие №1 должно специализироваться на производстве товара Y, а предприятие №2 на производстве товара X. В таком случае уравнения ресурсозатрат ПО будут выглядеть так: $Y = min(2\alpha; \frac{1}{2}\beta$) $X=2\alpha$ $\beta^+=\frac{2}{3}X$ Чтобы получить уравнение КПВ выражаем ресурсы через X и подставляем значения в уравнение ресурсозатрат производства Y (т.е. делаем всё тоже самое, что и в предыдущем пункте, но не забываем, что кол-во доступных ресурсов теперь в два раза больше). КПВ ПО $Y=min(2(60-\frac{X}{2}); \frac{1}{2}(80+\frac{2}{3}X))=min(120-X;40+\frac{1}{3}X)$ Ниже представлен график КПВ ПО. Ниже представлены (для наглядности) графики всех трёх КПВ на одной системе координат. Красный – предприятие №1 Синий – предприятие №2 Зелёный - ПО Ответ на третий вопрос Для начала заметим, что ПО никогда не выберет объём производства X меньше 60, т.к. тогда оно окажется на возрастающем участке КПВ (т.е. сможет увеличить производство обоих товаров сразу). Также, убывающий участок КПВ представляет собой прямую с коэффициентом -1 при x (т.е. увеличивая производства X на 1, мы отказываемся от одного Y). Т.к. $P_Y=30$, а $P_X=10$, производство каждой дополнительной единицы X (на убывающем участке) будет приносить нам 20ед. убытков. Следовательно, оптимальный объём производства – точка перегиба (60; 60), а $TR_{max}=2400$. Ответ на четвёртый вопрос Т.к. убывающий участок КПВ – это прямая с коэффициентом -1 при X. Для того, чтобы ПО изменило объём производства цена X должна быть больше цены Y. А для этого она должна увеличиться более чем на 20ед. или более чем в 3 раза. Ответ на пятый вопрос Для начало определим максимальное количество ресурса β, которым может обеспечить себя предприятие. Вспомним, что для ПО: $\beta^+=\frac{2}{3}X$, a максимальное кол-во X = 120. Следовательно, максимальное кол-во $\beta =\frac{2}{3}*120+80=160$. (80 – это поставки от города) Цена Y = 30. Для того, чтобы предприятие выбрало ненулевой объём производства Y должно выполняться следующее неравенство: $160*P_{\beta}+120*10<2400$ $160*P_{\beta}<1200$ $P_{\beta}<7,5$ Пояснение: в левой части неравенства – выручка от продажи β и X, а в правой части неравенства – максимально возможная выручка предприятия при данных ценах (а именно – выручка от продажи 60Y и 60X). Есть другой вариант решения. Заметим, что при уменьшении кол-ва X на 1, мы будем приобретать 20ед. выручки за каждую единицу (из-за того, что Y дороже X на 20 и тангенс угла наклона убывающего участка КПВ = -1). Также, мы будем терять $\frac{2}{3}\beta$ за каждую единицу X и терять $2\beta$ за производство каждой дополнительной единицы Y. Итого: $\frac{8}{3}\beta$ мы будем терять при движении влево по КПВ. Отсюда неравенство: $20 > \frac{8}{3}P_{\beta}$ т.е. $7,5 > P_{\beta}$