Налоги, опционы и гарантия вкладов
Обозначим $(x)^{+} = \max(x, 0)$.
Годовой доход человека равен $X$. Налог берётся по ступенчатой шкале: с части дохода, не превышающей 500, налог не взимается; с части дохода от 500 до 2000 взимается 13%; с части дохода свыше 2000 взимается 22%.
- а)
Найдите числа $a$ и $b$, при которых налог равен $a (X - 500)^{+} + b (X - 2000)^{+}$ при любом $X \geqslant 0$. Вычислите налог при $X = 3000$.
- б)
В другой стране налог равен $0{,}10 (X - 400)^{+} + 0{,}05 (X - 1200)^{+} + 0{,}07 (X - 3000)^{+}$. Восстановите шкалу: укажите границы ступеней и ставку на каждой из них.
- в)
Налог задан выражением $c_1 (X - K_1)^{+} + c_2 (X - K_2)^{+} + \ldots + c_n (X - K_n)^{+}$, где $K_1 < K_2 < \ldots < K_n$. Какому условию на числа $c_1, \ldots, c_n$ равносильно каждое из двух требований: ставка на каждой следующей ступени выше, чем на предыдущей; доход после уплаты налога не убывает при росте $X$?
Страховая компания заключает договоры, выплата по которым зависит от размера убытка $L$ у клиента. Договор с франшизой $D$ и лимитом ответственности $M$ означает, что убыток до $D$ клиент покрывает сам, убыток сверх $D$ компания возмещает, но выплата не может превысить $M$.
На страховом рынке свободно покупаются и продаются контракты, выплачивающие $(L - K)^{+}$ при любом заранее выбранном $K$. Их цены равны: 120 при $K = 0$, 80 при $K = 50$, 25 при $K = 300$, 5 при $K = 1000$.
- г)
Запишите выплату по договору с франшизой 50 и лимитом ответственности 250 в виде комбинации выплат $(L - K)^{+}$ и найдите справедливую цену такого договора.
- д)
Найдите справедливую цену договора без франшизы с лимитом ответственности 300. На сколько включение франшизы 50 удешевляет договор?
- е)
(*) Перестраховщик берёт на себя ту часть убытка, которая превышает 300, но не более 700. Найдите справедливую цену такого перестрахования.
- ж)
(*) Конкурент предлагает договор с франшизой 50 и лимитом ответственности 250 за 45. Постройте набор сделок, приносящий гарантированную прибыль, и найдите её.
Банк финансируется вкладом и собственным капиталом. Ровно через год банк обязан вернуть вкладчику 1000; всё, что останется после этого, достаётся владельцам банка. Единственный актив банка — портфель кредитов, доли в котором свободно торгуются; сегодня весь портфель стоит 1000, а через год он будет стоить 1600 или 800. Занимать и вкладывать деньги можно под 25% годовых, разрешены дробные количества и короткие продажи.
Если банк не сможет расплатиться, вкладчик получает всё, что удастся выручить за портфель кредитов. Государственная гарантия по вкладам устроена так: государство доплачивает вкладчику разницу, если денег банка не хватило на возврат 1000.
- з)
(*) Выпишите сумму, которую получит вкладчик через год без гарантии, как функцию стоимости $V$ портфеля кредитов. Покажите, что выплата государства совпадает с выплатой опциона пут на портфель кредитов, и укажите его страйк.
- и)
(*) Найдите сегодняшнюю стоимость гарантии. Сколько денег вкладчик согласится внести сегодня, если гарантии нет и если она есть?
- к)
(*) Банк заменил портфель кредитов на более рискованный: через год он будет стоить 2000 или 400, а его сегодняшняя стоимость по-прежнему равна 1000. Найдите новую стоимость гарантии, а также стоимость собственного капитала банка до и после замены. Кто выиграл от замены, а кто проиграл?