Shutdown price и количество капитала
Производственная функция совершенно конкурентной фирмы «Минимум 100» имеет вид: $$Q(K,L) =\begin{cases}0,\text{ если $KL<100$;} \\ \sqrt{KL}-10,\text{ если $KL\ge100$.}\end{cases}$$ где $Q$ — выпуск фирмы, $K$ — объем используемого фирмой капитала, $L$ — объем используемого фирмой труда. В краткосрочном периоде количество капитала, используемого фирмой, фиксировано; фирма может менять объем выпуска только за счет изменения количества нанимаемого труда. Фирма закупает как труд, так и капитал на совершенно конкурентных рынках, причем известно, что зарплата равна 1. Определите количество капитала, которым обладает фирма, если в интервью ее менеджер заявил, что в краткосрочном периоде фирма готова выпускать продукцию, только если рыночная цена этой продукции не опустится ниже 8.
Решение
Выведем функцию переменных издержек фирмы. Переменными издержками являются расходы на закупку переменных факторов производства — в данном случае, расходы на оплату труда. При нулевом выпуске переменные затраты фирмы будут равны нулю, так как в этом случае она сможет позволить себе вообще не нанимать работников. Если же фирма захочет произвести некое $Q>0$ , то ей придется начать нанимать работников. $Q=\sqrt{KL}-10$ , и значит, требуемое значение $L$ равно $\frac{(Q+10)^2}{K}$ . Таким образом, при $Q>0$ переменные издержки фирмы составят $wL=1\cdot \frac{(Q+10)^2}{K}$ . В итоге получаем, что функция переменных издержек фирмы имеет вид $$VC(Q)\left\{\begin{matrix} \frac{(Q+10)^2}{K}, && если \ Q>0\\ 0, && если \ Q=0 \end{matrix}\right.$$ Соответственно, функция средних переменных издержек фирмы имеет вид $$AVC(Q)=\frac{1}{K}\left( Q+\frac{100}{Q}+20 \right )$$ Минимум этой функции достигается в точке, где $AVC’(Q)=0$ , то есть если $\frac{1}{K}\left ( 1-\frac{100}{Q^2}\right ) =0$ , откуда $Q=10$ . Сам минимум $AVC$ равен $AVC(10)=\frac{40}{K}$ . С другой стороны, по условию этот минимум равен 8 (так как $\min AVC$ — не что иное как минимальная рыночная цена, при которой фирма продолжит производство в краткосрочном периоде). Значит, $\frac{40}{K}=8$ , откуда $K=5$ . Ответ: $K=5.$ Примечание: Минимум средних переменных издержек можно в данном случае найти и без использования производной (см. примечание к задаче "Хитрые издержки" ).