Гарантия по вкладам

Г-н Комиссаренко решил преумножить свое богатство, положив $2$ миллиона рублей в банк. Он выбирает между банками «Анжела» и «Виктория», годовые ставки по депозитам в которых составляют $5\%$ и $20\%$ соответственно. Однако с точки зрения рейтинговых агентств эти банки имеют разные категории надежности – $A$ и $B$. Банк «Анжела» имеет категорию $A$, банк «Виктория» – категорию $B$. Банки категории $A$ никогда не нарушают свои обязательства перед вкладчиками. Для банков категории $B$ статистика хуже: в среднем ежегодно $10$ из $100$ таких банков прекращают платежи. Считайте, что неплатежеспособность банка может выявиться только по итогам первого квартала года, и к этому моменту вкладчик еще не получит никаких процентов, которые ему причитаются, так что в этом случае от его вклада не останется вообще ничего.

1. Рассчитайте ожидаемую сумму$^*$, которую г-н Комиссаренко будет иметь через год:

a. Вложив деньги в банк «Анжела»;

b. Вложив деньги в банк «Виктория»;

c. Поровну разделив деньги между банками.

2. На рынке появился третий банк «Светлана», его ставка по вкладу – $10\%$, а категория надежности – $C$, означающая, что банк окажется неплатежеспособным с вероятностью $5\%$.

Как появление нового банка повлияет на решение г-на Комиссаренко о выборе банка, при условии, что он должен положить деньги в один банк?

3. Государство ввело гарантию по банковским вкладам на сумму до $1,4$ млн. рублей. Теперь в случае неплатежеспособности банка вкладчик получает сумму вклада в пределах $1,4$ миллиона рублей и никаких процентов. А сумма вклада свыше $1,4$ млн. рублей теряется, как и раньше. Вкладчик может иметь сколько угодно вкладов в разных банках, и гарантирован будет каждый вклад (главное, чтобы ни в одном банке не было больше $1,4$ млн. руб.).

a. Куда при этих новых обстоятельствах, при прочих равных условиях, г-н Комиссаренко будет вкладывать свои $2$ миллиона рублей?

b. Привело ли введение государственной гарантии по банковским вкладам к перетоку вкладов из менее надежных, с точки зрения рейтинговых агентств, банков в более надежные?

$^*$ Под ожидаемой суммой следует понимать математическое ожидание.

Справка

Пусть распределение вероятностей случайной величины Х представлено в таблице:

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Значения, которые принимает } X & X_1 & X_2 & \cdots & X_n \\ \hline \text{Вероятность} & p_1 & p_2 & \cdots & p_n \\ \hline \end{array}$

Математическим ожиданием $E(X)$ случайной величины $X$ называют число:

$E(X)=p_1X_1+p_2X_2+...+p_nX_n$.

Пример. Предположим, вам предлагают сыграть в лотерею, где с вероятностью $110$ вы выиграете $100$ рублей, с вероятностью $12$ вы выиграете $200$ рублей, и с вероятностью $25$ выиграете $500$ рублей. Тогда математическое ожидание денежного выигрыша в этой лотерее равно: $E(X)=110-100+12*200+25*500=10+100+200=310$ рублей.