Интернет на весь год
Вы оплачиваете услуги интернет-провайдера, в начале каждого месяца внося на счёт одну и ту же сумму. Компания предложила оплатить свои услуги в начале года на год вперёд со скидкой $s\cdot 100 \%$. Месячная процентная ставка по депозитам составляет $r \cdot 100 \%$ и не меняется. Вы максимизируете сумму, которая будет лежать на Вашем счету в конце года (изначально у Вас на счету лежит сумма, достаточная для оплаты услуг по любой схеме). Для каждого значения r укажите все значения s, при которых согласиться на предложение провайдера будет выгодно.
Решение
Обозначим месячную стоимость услуг провайдера за А. Пусть изначально сумма на счету равна B. Если не пользуемся скидкой и оплачиваем регулярно 12 раз в году, то сумма в конце года будет равна $$(B-A)(1+r)^{12}-A(1+r)^{11}-A(1+r)^{10}-...-A(1+r)$$ (2 балла). По формуле суммы геометрической прогрессии это выражение равно $$B(1+r)^{12}-\frac{(1+r)^{13}-(1+r)}{r}$$(1 балл). Если пользуемся скидкой, то сумма на счёте в конце года будет равна $(B-(1-s)12A)(1+r)^{12}$ (3 балла). Остаётся сравнить два полученных выражения, А и B сократятся. Cогласиться на предложение будет выгодно, если $$12(1-s) \leq \frac{(1+r)^{12}-1}{r(1+r)^{11}}$$ (3 балла) Строгость или нестрогость знака значения не имеет. Преобразовав, получим ответ: $$s \geq 1- \frac{(1+r)^{12}-1}{12r(1+r)^{11}}$$ (1 балл). Ответ: $$s \geq 1- \frac{(1+r)^{12}-1}{12r(1+r)^{11}}$$