Все дороги ведут к решению
$a, b, c$ — произвольные числа.
•
•
Подпункты
а)
Докажите, что $a^2 - ab + b^2 \geq 0$.
•
•
б)
Докажите, что $(a + b + c)^2 \geq 3(ab + bc + ac)$.
•
•
в)
Докажите, что $y = (x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - a)(x - c)$ имеет корень(ни) (посмотрите на дискриминант).
Решение
а) $a^2 - ab + b^2 \geq 0$
\[
\left(a-\frac{b}{2}\right)^2 + \frac{3b^2}{4} \geq 0
\]
б) $(a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ac)$
\[
(a-b)^2 + (a-c)^2 + (b-c)^2 \geq 0
\]
в) Доказать наличие корней
\[
y=3x^2-2(a+b+c)x+(ab+bc+ac)
\]
\[
D=4[(a+b+c)^2-3(ab+bc+ac)] \geq 0 (по п.б)
\]
\[
\left(a-\frac{b}{2}\right)^2 + \frac{3b^2}{4} \geq 0
\]
б) $(a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ac)$
\[
(a-b)^2 + (a-c)^2 + (b-c)^2 \geq 0
\]
в) Доказать наличие корней
\[
y=3x^2-2(a+b+c)x+(ab+bc+ac)
\]
\[
D=4[(a+b+c)^2-3(ab+bc+ac)] \geq 0 (по п.б)
\]