Кривая Лоренца и Джини при объединении стран
В стране Альфа кривая Лоренца описывается функцией:
$$
y =
\begin{cases}
\frac{x}{2}, & x \in [0; 0,8] \\
3x-2, & x \in (0,8; 1]
\end{cases}
$$
А в стране Бета:
$$
y =
\begin{cases}
\frac{x}{5}, & x \in [0; 0,5] \\
\frac{9x}{5}-\frac{4}{5}, & x \in (0,5; 1]
\end{cases}
$$
Известно, что в стране Альфа проживает 10 человек, а в стране Бета — 40 человек. Совокупный доход в каждой из стран равен 500 у.е. Страны решили объединиться в страну Гамма.
$$
y =
\begin{cases}
\frac{x}{2}, & x \in [0; 0,8] \\
3x-2, & x \in (0,8; 1]
\end{cases}
$$
А в стране Бета:
$$
y =
\begin{cases}
\frac{x}{5}, & x \in [0; 0,5] \\
\frac{9x}{5}-\frac{4}{5}, & x \in (0,5; 1]
\end{cases}
$$
Известно, что в стране Альфа проживает 10 человек, а в стране Бета — 40 человек. Совокупный доход в каждой из стран равен 500 у.е. Страны решили объединиться в страну Гамма.
Подпункты
а)
Для каждой страны (Альфа и Бета) определите доход одного человека из беднейшего и богатейшего классов.
б)
Расположить всех жителей объединённой страны Гамма в порядке возрастания их доходов. Какую долю от суммарного числа людей будет занимать каждая из групп?
в)
Нарисуйте кривую Лоренца страны Гамма, запишите ее уравнение и найдите коэффициент Джини стран по отдельности и большой страны.
Решение
Альфа: $N=10, I=100;$
бедные: $N=0,8\cdot10=8, I = \frac{0,8}{2}\cdot500=200, i_p^a=\frac{200}{8}=25;$
богатые: $N=2, I = 300, i_r^a=\frac{300}{2}=150$
Бета: $N=40, I=100;$
бедные: $N=0,5\cdot40=20, I = \frac{0,5}{5}\cdot500=50, i_p^b=\frac{50}{20}=2,5;$
богатые: $N=20, I = 450, i_r^b=\frac{450}{20}=22,5$
$i_p^b<i_r^b<i_p^a<i_r^a \Rightarrow$ сначала 20 людей с доходом 2,5, затем 20 людей с доходом 22,5, далее 8 людей с доходом 25 и, наконец, 2 человека с доходом 150. Итого: $n_1 = \frac{20}{50}=0,4; n_2 = \frac{20}{50}=0,4; n_3=\frac{8}{50}=0,16; n_4=\frac{2}{50}=0,04$
бедные: $N=0,8\cdot10=8, I = \frac{0,8}{2}\cdot500=200, i_p^a=\frac{200}{8}=25;$
богатые: $N=2, I = 300, i_r^a=\frac{300}{2}=150$
Бета: $N=40, I=100;$
бедные: $N=0,5\cdot40=20, I = \frac{0,5}{5}\cdot500=50, i_p^b=\frac{50}{20}=2,5;$
богатые: $N=20, I = 450, i_r^b=\frac{450}{20}=22,5$
$i_p^b<i_r^b<i_p^a<i_r^a \Rightarrow$ сначала 20 людей с доходом 2,5, затем 20 людей с доходом 22,5, далее 8 людей с доходом 25 и, наконец, 2 человека с доходом 150. Итого: $n_1 = \frac{20}{50}=0,4; n_2 = \frac{20}{50}=0,4; n_3=\frac{8}{50}=0,16; n_4=\frac{2}{50}=0,04$