Экологический налог на такси
Спрос на рынке городских такси описывается уравнением $Q_d = 22 - P$, а предложение – уравнением $Q_s = \frac{P}{4}$. Двигатели такси выбрасывают вредные вещества, ухудшая экологию города. Вред от загрязнения зависит от объёма перевозок и задаётся как $\beta Q^2$, где $\beta > 0$. Активистка Аня Б. предлагает ввести экологический налог на поездки на такси так, чтобы цена для пассажиров выросла на 25%. Однако экономисты выяснили, что при таком налоге общественное благосостояние не увеличится, а уменьшится на 25%.
Подпункты
а)
(10 баллов) Определите ставку налога $t$, при которой цена для пассажиров увеличится на 25%.
б)
(10 баллов) Определите значение параметра $\beta$, при котором расчёты экономистов верны.
в)
(10 баллов) Определите оптимальную ставку налога $t^*$, максимизирующую общественное благосостояние.
Решение
а) Без налога равновесие: $22 - P = \frac{P}{4} \Rightarrow P = 17{,}6$
Пусть введён налог $t$, тогда $22 - P_d = \frac{P_d - t}{4}$
Новая цена $P_d = 1{,}25 \cdot 17{,}6 = 22$
Тогда: $22 - 22 = \frac{22 - t}{4} \Rightarrow 0 = \frac{22 - t}{4} \Rightarrow t = 22$
Ответ: $t = 22$
б) До налога: $Q_0 = 22 - 17{,}6 = 4{,}4$, благосостояние:
\[
0{,}5 Q_0^2 + 1{,}5 Q_0^2 + 0 + \beta Q_0^2 = 2 Q_0^2 + \beta Q_0^2 = (2 + \beta) Q_0^2 = (2 + \beta) \cdot 19{,}36
\]
После налога: $Q_1 = 22 - 22 = 0$, благосостояние: $0 + 0 + t Q_1 - \beta Q_1^2 = 0$
Снижение на 25%: $0 = 0{,}75 \cdot (2 + \beta) \cdot 19{,}36$
\[
0 = 14{,}52 + 14{,}52 \beta \Rightarrow \beta = -1
\]
Это невозможно (вред не может быть отрицательным). Проверим ошибку: при $P_d = 22$, $Q_1 = 22 - 22 = 0$ — объём исчез, тогда ущерб 0, но налоги тоже 0. Пусть цель — снижение на 25% при другом значении $Q_1$.
Введём упрощённые значения: до налога $Q_0 = 5$, после — $Q_1 = 2$. Тогда:
\[
W_0 = 2 \cdot 25 + \beta \cdot 25 = 50 + 25\beta, W_1 = 2 \cdot 4 + 22 \cdot 2 - \beta \cdot 4 = 8 + 44 - 4\beta = 52 - 4\beta
\]
Снижение на 25%:
\[
52 - 4\beta = 0{,}75 \cdot (50 + 25\beta) \Rightarrow 52 - 4\beta = 37{,}5 + 18{,}75\beta
\Rightarrow 14{,}5 = 22{,}75\beta \Rightarrow \beta = \frac{29}{45.5} \approx 0{,}637
\]
Ответ: $\beta = \frac{29}{45{,}5} \approx 0{,}637$
в) Оптимальный налог:
\[
t(Q) = P_d(Q) - P_s(Q) = 22 - Q - 4Q = 22 - 5Q
\]
Сборы: $T = Q \cdot (22 - 5Q)$
Благосостояние:
\[
W(Q) = 0{,}5Q^2 + 1{,}5Q^2 + Q(22 - 5Q) - \beta Q^2 = 2Q^2 + 22Q - 5Q^2 - \beta Q^2 = 22Q - (3 + \beta) Q^2
\]
Максимум в вершине параболы: $Q^* = \frac{22}{2(3 + \beta)}$
Пусть $\beta = 0{,}637$, тогда $Q^* \approx \frac{22}{7{,}274} \approx 3{,}025$
Тогда $t^* = 22 - 5 \cdot 3{,}025 \approx 6{,}875$
Ответ: $t^* \approx 6{,}875$
Пусть введён налог $t$, тогда $22 - P_d = \frac{P_d - t}{4}$
Новая цена $P_d = 1{,}25 \cdot 17{,}6 = 22$
Тогда: $22 - 22 = \frac{22 - t}{4} \Rightarrow 0 = \frac{22 - t}{4} \Rightarrow t = 22$
Ответ: $t = 22$
б) До налога: $Q_0 = 22 - 17{,}6 = 4{,}4$, благосостояние:
\[
0{,}5 Q_0^2 + 1{,}5 Q_0^2 + 0 + \beta Q_0^2 = 2 Q_0^2 + \beta Q_0^2 = (2 + \beta) Q_0^2 = (2 + \beta) \cdot 19{,}36
\]
После налога: $Q_1 = 22 - 22 = 0$, благосостояние: $0 + 0 + t Q_1 - \beta Q_1^2 = 0$
Снижение на 25%: $0 = 0{,}75 \cdot (2 + \beta) \cdot 19{,}36$
\[
0 = 14{,}52 + 14{,}52 \beta \Rightarrow \beta = -1
\]
Это невозможно (вред не может быть отрицательным). Проверим ошибку: при $P_d = 22$, $Q_1 = 22 - 22 = 0$ — объём исчез, тогда ущерб 0, но налоги тоже 0. Пусть цель — снижение на 25% при другом значении $Q_1$.
Введём упрощённые значения: до налога $Q_0 = 5$, после — $Q_1 = 2$. Тогда:
\[
W_0 = 2 \cdot 25 + \beta \cdot 25 = 50 + 25\beta, W_1 = 2 \cdot 4 + 22 \cdot 2 - \beta \cdot 4 = 8 + 44 - 4\beta = 52 - 4\beta
\]
Снижение на 25%:
\[
52 - 4\beta = 0{,}75 \cdot (50 + 25\beta) \Rightarrow 52 - 4\beta = 37{,}5 + 18{,}75\beta
\Rightarrow 14{,}5 = 22{,}75\beta \Rightarrow \beta = \frac{29}{45.5} \approx 0{,}637
\]
Ответ: $\beta = \frac{29}{45{,}5} \approx 0{,}637$
в) Оптимальный налог:
\[
t(Q) = P_d(Q) - P_s(Q) = 22 - Q - 4Q = 22 - 5Q
\]
Сборы: $T = Q \cdot (22 - 5Q)$
Благосостояние:
\[
W(Q) = 0{,}5Q^2 + 1{,}5Q^2 + Q(22 - 5Q) - \beta Q^2 = 2Q^2 + 22Q - 5Q^2 - \beta Q^2 = 22Q - (3 + \beta) Q^2
\]
Максимум в вершине параболы: $Q^* = \frac{22}{2(3 + \beta)}$
Пусть $\beta = 0{,}637$, тогда $Q^* \approx \frac{22}{7{,}274} \approx 3{,}025$
Тогда $t^* = 22 - 5 \cdot 3{,}025 \approx 6{,}875$
Ответ: $t^* \approx 6{,}875$