"Чё, челы, красивая задача?"
Найдите минимальное значение функции $x^4y^2 + y^4z^2 + z^4x^2 + x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 + x^2 + y^2 + z^2 + 4x^2yz + 4y^2xz + 4z^2yx$ и все значения переменных x,y,z при которых оно достигается.
Решение
Минимальное значение - 0, и достигается оно ТОЛЬКО при x = y = z = 0. Исходная функция сворачивается в сумму четырех квадратов - $(x^2y + z)^2 + (y^2z + x)^2 + (z^2x + y)^2 + (xy + yz + xz)^2$, приравнивая все скобки к нуля и перемножая первые три получаем $-(xyz)^3 = xyz$, откуда очевидно следует xyz = 0, отсюда следует, что хотя бы одна из переменных равна 0, а отсюда автоматически следует что все остальные равны 0. Отсюда получаем, что 0 достигается, причём только при x = y = z = 0.