Изобразите график следующих функций и найдите все экстремумы и точки, в которых
Изобразите график следующих функций и найдите все экстремумы и точки, в которых функции принимают наибольшее/наименьшее значение (если такие точки есть):
Подпункты
а)
$f(x) = |x^2 - 4x|$
б)
$f(x) = 2|x| - x^2$
Решение
Вершина $x^2 - 4x$ в точке $x = 2$. Нулю $x^2 - 4x$ равно в $x = 0$ и $x = 4$. У нас четыре промежутка, два в середине перевёрнуты от $x^2 - 4x$. То есть убывает, возрастает, убывает, возрастает. Из этого получаем три локальных экстремума, минимумы $x = 0$ и $x = 4$ и максимум $x = 2$. Так как в минимумах модуль равен нулю, то они глобальные. Глобального максимума нет.
Две параболы, $-x^2 + 2x$ при $x \geq 0$, $-x^2 - 2x$ при $x < 0$. Вершины в $x = -1$, $x = 1$. Значит для трёх точек $\{-1, \, 0, \, 1\}$ функция идёт возрастание, убывание, возрастание, убывание. Итого $-1$ и $1$ локальные максимумы, $0$ локальный минимум.
Две параболы, $-x^2 + 2x$ при $x \geq 0$, $-x^2 - 2x$ при $x < 0$. Вершины в $x = -1$, $x = 1$. Значит для трёх точек $\{-1, \, 0, \, 1\}$ функция идёт возрастание, убывание, возрастание, убывание. Итого $-1$ и $1$ локальные максимумы, $0$ локальный минимум.