Локальный коммунизм 3
В содружестве государств А в стране Пя к власти пришли какие-то левые люди. Они решили, что в обществе есть враги народа, которых нужно устранить. Новое правительство собирается объявить предателями долю $a$ подряд идущих по доходам людей, забрать у них все деньги и отдать их некоему мифическому «правильному гражданину Курилкину», а на деле своровать их. При этом новоиспечённые «агенты 20-х годов» (террористическая организация, участниками которой объявят жертв репрессий) останутся в живых и будут учтены при плановом подсчёте распределения доходов, хоть денег у них и не останется. С гражданином Курилкиным ситуация немного сложнее: в населении он не учитывается (так как в Пя проводится полная перепись населения, и появление некоего нового человека было бы вскрыто), но, так как формально эти деньги не сворованы, они всё ещё учитываются как часть совокупного дохода населения страны Пя. Кривая Лоренца в стране Пя имеет вид $y = x^2$.
Подпункты
а)
После долгих раздумий врагами народа была объявлена половина населения страны. При этом новый президент придерживается идеалов равенства, братства, сестринства и сиблингства, поэтому он стремится минимизировать коэффициент Джини. Найдите, кого постигнет суровая участь агента 20-ых годов.
б)
Не успело правительство начать репрессии, как консультант Н посоветовал максимизировать коэффициент Джини вместо минимизации. Все ему поверили, так как Н являлся тайным агентом 20-х годов (настоящим) и обладал навыком критического убеждения. Теперь государство занимается именно максимизацией коэффициента Джини. Какие люди пострадают в таком случае?
в)
Неожиданно агента Н раскрыл господин Г, обладающий изумительной проницательностью. Из-за этого план консультанта Н тоже не был приведён в действие. В честь такой услуги стране господин Г был тут же избран новым президентом, и теперь все подчиняются ему. Его полезность выражается функцией $U_{\Gamma}=I-G$, где I — доля украденных у населения доходов, а G — коэффициент Джини после репрессий (господин Г любит золото, но и чувство справедливости ему не чуждо). Найдите, кого репрессирует Г, какую долю доходов украдёт, чему будет равен коэффициент Джини и какую полезность в итоге получит Г.
Решение
$G=\frac{1}{3}+2a(2(1-a)x+a-\frac{2a^2}{3})$
минимизируем коэффициент у $2a$: $x=0$, воруем у самых бедных
максимизируем коэффициент у $2a$: $x=1-a$, воруем у самых богатых
$U=-\frac{1}{3}+a-2a(2(1-a)x+a-2\frac{a^2}{3})$, заметим что коэффициент перед $2a$ всегда положительный, минимизируем его: $x=0$, $U=-\frac{1}{3}+a-2a^2+\frac{4a^2}{3}$ - строго возрастающая по $a$ функция, значит $a=1$
минимизируем коэффициент у $2a$: $x=0$, воруем у самых бедных
максимизируем коэффициент у $2a$: $x=1-a$, воруем у самых богатых
$U=-\frac{1}{3}+a-2a(2(1-a)x+a-2\frac{a^2}{3})$, заметим что коэффициент перед $2a$ всегда положительный, минимизируем его: $x=0$, $U=-\frac{1}{3}+a-2a^2+\frac{4a^2}{3}$ - строго возрастающая по $a$ функция, значит $a=1$