Шаловливая Юля в свободное от работы время бегает по заводам и мешает ответствен
Шаловливая Юля в свободное от работы время бегает по заводам и мешает ответственным промышленникам. В первом периоде у промышленника Жареса есть два завода, издержки на которых имеют вид: $TC_1 = \sin(\alpha) Q_1^2$, $TC_2 = \cos(\alpha) Q_2^2$. Роль Юли заключается в том, что после того, как Жарес выбрал $Q_1$ и $Q_2$, Юля прибегает и выбирает $\alpha$ так, чтобы издержки производства Жареса были максимальны.
Hint: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$
Hint: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$
Подпункты
а)
Какое $\alpha$ выберет Юля, зная, что $Q_1 = Q_2 = 2$?
б)
Найдите $\alpha$ в зависимости от $Q_1, Q_2$, максимизирующее издержки Жареса.
Hint: Если вы вдруг получили уравнение $\sin(\alpha) = x$, то $\alpha = \arcsin(x)$
Hint: Если вы вдруг получили уравнение $\sin(\alpha) = x$, то $\alpha = \arcsin(x)$
в)
Жарес узнал, что Юля узнала его выпуски и теперь у него есть возможность поменять выпуск на заводах. Найдите $Q_1^{new} (Q_1, Q_2), Q_2^{new} (Q_1, Q_2)$, если $Q_1$ и $Q_2$ — выпуски из предыдущего пункта.
Решение
Подставим $Q_1 = Q_2 = 2$ в общие издержки, промаксимизируем их.
$\sin \alpha = t, TC = 4t + 4\sqrt{1 - t^2} \xrightarrow{} \max \rightarrow 4 - \frac{8t}{\sqrt{1-t^2}} = 0 \longleftarrow t =\frac{\sqrt{2}}{2} \xrightarrow{} \alpha = \frac{\pi}{4}.$
Идея та же: $a - \frac{bt}{\sqrt{1-t^2}} = 0 \xrightarrow{} bt = \sqrt{1-t^2}a \xrightarrow{} t = \sqrt{\frac{a^2}{a^2 + b^2}},
\alpha = \arcsin{\sqrt{\frac{a^2}{a^2 + b^2}}}$
Пусть для начала $Q_1 = a, Q_2 = b$
$TC = \sqrt{\frac{a^2}{a^2+ b^2}}Q_1^2 + \sqrt{\frac{b^2}{a^2 + b^2}} Q_2^2, MC_1 = MC_2 \xrightarrow{} Q_1^{new}= \frac{Q}{1 + \frac{Q_2}{Q_1}}, Q_2^{new}= \frac{Q}{1 + \frac{Q_1}{Q_2}}$
$\sin \alpha = t, TC = 4t + 4\sqrt{1 - t^2} \xrightarrow{} \max \rightarrow 4 - \frac{8t}{\sqrt{1-t^2}} = 0 \longleftarrow t =\frac{\sqrt{2}}{2} \xrightarrow{} \alpha = \frac{\pi}{4}.$
Идея та же: $a - \frac{bt}{\sqrt{1-t^2}} = 0 \xrightarrow{} bt = \sqrt{1-t^2}a \xrightarrow{} t = \sqrt{\frac{a^2}{a^2 + b^2}},
\alpha = \arcsin{\sqrt{\frac{a^2}{a^2 + b^2}}}$
Пусть для начала $Q_1 = a, Q_2 = b$
$TC = \sqrt{\frac{a^2}{a^2+ b^2}}Q_1^2 + \sqrt{\frac{b^2}{a^2 + b^2}} Q_2^2, MC_1 = MC_2 \xrightarrow{} Q_1^{new}= \frac{Q}{1 + \frac{Q_2}{Q_1}}, Q_2^{new}= \frac{Q}{1 + \frac{Q_1}{Q_2}}$