В один летний вечер у Лёши все не получалось составить задачи на два завода, поэ
В один летний вечер у Лёши все не получалось составить задачи на два завода, поэтому он решил построить два заводы по производству задачек. Однако, он столкнулся со страшными подробностями: заводы производят не только хорошие, но и плохие задачи. Пораскинув мозгами, Лёша оценил, что за каждую хорошую задачу он получит один щелбан, а за каждую плохую четыре. Чтобы открыть завод, производящий долю $\alpha$ хороших задач, Лёша должен получить $\alpha$ щелбанов. Как вы понимаете, Лёша старается минимизировать количество щелбанов при том, что ему надо произвести $q$ задачек. На каждом заводе издержки на производство $q$ задач описываются функцией $TC(q) = q^2$, издержки измеряются в щелбанах. Механизм покупки заводов выглядит следующим образом: сначала Лёша выбирает $\alpha$ для всех заводов, потом выбирает количество заводов, а потом распределяет объём между заводами. Для всех заводов $\alpha$ должно быть одинаковым. Найдите $\alpha$, которое выберет Лёша.
P.S. Лёша получает щелбаны за плохие задачи сразу после их производства.
P.S. Лёша получает щелбаны за плохие задачи сразу после их производства.
Решение
Для начала попробуем записать издержки в зависимости от выбранного количества задач (и плохих и хороших):
$TC = \frac{Q^2}{n} + \alpha*Q + (1-\alpha)*4*Q + n*f(\alpha)$
Здесь вместо издержек на открытие завода ($\alpha$) было заменено на $f(\alpha)$
Запишем для начала условия для произвольной $f(\alpha)$, отражающей издержки на открытие завода
$TC'_{n} = -\frac{Q^2}{n^2} + f(\alpha) = 0$
$n = \frac{Q}{\sqrt{f(\alpha)}}$
$TC = Q * \sqrt{f(\alpha)} + \alpha Q + 4(1-\alpha)Q + Q * \sqrt{f(\alpha)}$
$TC = 2Q*\sqrt{f(\alpha)} - 3\alpha Q + 4Q$
$TC'_{\alpha} = Q * f(\alpha)^\frac{-1}{2} * f(\alpha)'_{\alpha} - 3Q =0$
$\frac{1}{\sqrt{f(\alpha)}} * f(\alpha)'_{\alpha} = 3$
$f(\alpha) = \frac{9\alpha^2}{4}$
Подставим сюда $f(\alpha) = \alpha$ получим $\alpha = \frac{1}{9}$
$TC = \frac{Q^2}{n} + \alpha*Q + (1-\alpha)*4*Q + n*f(\alpha)$
Здесь вместо издержек на открытие завода ($\alpha$) было заменено на $f(\alpha)$
Запишем для начала условия для произвольной $f(\alpha)$, отражающей издержки на открытие завода
$TC'_{n} = -\frac{Q^2}{n^2} + f(\alpha) = 0$
$n = \frac{Q}{\sqrt{f(\alpha)}}$
$TC = Q * \sqrt{f(\alpha)} + \alpha Q + 4(1-\alpha)Q + Q * \sqrt{f(\alpha)}$
$TC = 2Q*\sqrt{f(\alpha)} - 3\alpha Q + 4Q$
$TC'_{\alpha} = Q * f(\alpha)^\frac{-1}{2} * f(\alpha)'_{\alpha} - 3Q =0$
$\frac{1}{\sqrt{f(\alpha)}} * f(\alpha)'_{\alpha} = 3$
$f(\alpha) = \frac{9\alpha^2}{4}$
Подставим сюда $f(\alpha) = \alpha$ получим $\alpha = \frac{1}{9}$