Предприниматели А
Предприниматели А. и Е. единственные, кто предлагает свои услуги на рынке образования. У них есть два типа покупателей: Гении и Трудяги. Они предлагают каждому типу свои услуги и полезность потребителя i-ого типа имеет вид:
$$U_i = \theta_i\left(\dfrac{1-(1-x)^2}{2}\right) - px$$
Известно, что Гении получают меньше полезности от услуг А. и Е., и $\theta_g = 1$, в то время как Трудягам же наоборот эти услуги дают очень много и $\theta_t = 8$. Известно, что всего на услуги А. и Е. претендуют 100 гениев и 200 трудяг.
$$U_i = \theta_i\left(\dfrac{1-(1-x)^2}{2}\right) - px$$
Известно, что Гении получают меньше полезности от услуг А. и Е., и $\theta_g = 1$, в то время как Трудягам же наоборот эти услуги дают очень много и $\theta_t = 8$. Известно, что всего на услуги А. и Е. претендуют 100 гениев и 200 трудяг.
Подпункты
а)
Найдите $p$, которое выберут А. и Е., если они не могут отличать трудяг от гениев.
б)
Они обратились к экстрасенсу, который умеет определять: Гений человек или Трудяга, а значит А. и Е. могут назначать каждому типу свой $p$. Найдите какие $p_g$ и $p_t$ выберут предприниматели?
в)
Экстрасенс отказался работать на этом рынке, но у предпринимателей появилась возможность устанавливать двухчастную плату за товар. Предлагая цену $p_i$ за одну единицу услуг и $F_i$ как плату за возможность учиться вообще. Найдите оптимальные наборы.
г)
Сравните прибыли предпринимателей из всех пунктов.
Решение
Спрос гениев $x=100-100p_g$, спрос трудяг $x=200-25p_t$, суммарный спрос $300-125p$, однако оптимум при $p=4$, прибыль равна $400$
Тогда $p_t=4$, $p_g=0.5$, прибыль равна $425$
Полезность гениев от такого комплекта $\frac{(1-p)^2}{2}-F$, трудяг $4(1-\frac{p}{8})^2-F$
Тогда мы либо ставим $F=\frac{(1-p)^2}{2}$ и продаем обоим, либо $F=4(1-\frac{p}{8})^2$ и только трудягам. В итоге оптимально ставить $p=0$ $F=4$, прибыль $800$.
а<б<в
Тогда $p_t=4$, $p_g=0.5$, прибыль равна $425$
Полезность гениев от такого комплекта $\frac{(1-p)^2}{2}-F$, трудяг $4(1-\frac{p}{8})^2-F$
Тогда мы либо ставим $F=\frac{(1-p)^2}{2}$ и продаем обоим, либо $F=4(1-\frac{p}{8})^2$ и только трудягам. В итоге оптимально ставить $p=0$ $F=4$, прибыль $800$.
а<б<в