Банк и инвестиции

Вы когда-нибудь мечтали стать руководителем крупного банка? Представим, что Вы являетесь им. Вам открыты на выбор две инвестиционные технологии, различающиеся, естественно, доходностью, которая определяется периодом инвестирования. Пусть существуют 3 периода $(T=i, \text{ где } i={0,1,2})$. Первый вариант подразумевает вложение средств в $T = 0$ и получение ровно такой же суммы в периоде $T = 1$. Напротив, вторая опция предлагает вложиться в $T = 0$ и выручить средства в $T = 2$, причём в размере $R\cdot S$, где S-сумма вложений, $R>1$. Если проект завершается раньше $T = 2$, то инвестор ничего не получает и теряет все вложения в данный проект. Пусть существуют вкладчики, которые разделяются на два типа: рискованные и менее рискованные. Последние не предпочитают держать деньги на счёте: наличные для них спокойнее. Предположим, что функцию полезности вкладчиков: $u(x_i)=\dfrac{x_i^{1-\alpha}}{1-\alpha}$, где $x$-уровень потребления, $i={1,2}$ - тип вкладчика, $\alpha$ - некий параметр. Пусть в $T=0$ вкладчик не знает к какому типу он относится, но начиная с $T=1$ и вероятностью $p$, он осознает, что он «менее рискованный». Такой вкладчик склонен забирать свой вклад в периоде $T=1$, предпочитая потратить деньги на текущее потребление. Однако вкладчик иного типа готов ждать до $T=2$ (при условии, что не боится за свои средства)$^2$. Как руководитель банка, вы хотите определить оптимальную инвестиционную стратегию при данных рисках. ($^2$ Вкладчик не боится банкротства банка, которое может случиться при большом набеге других вкладчиков в T=1.)