Налог в модели межвременного выбора

Рассмотрите индивида, планирующего свою жизнь на два периода вперёд. В первом периоде доход индивида составит 120 д. е., во втором периоде — 210 д. е. Ставка процента постоянна и равна 25 % — по этой ставке можно взять кредит или открыть депозит. В конце второго периода индивид не желает иметь ни долгов, ни накоплений. Пусть предпочтения индивида устроены таким образом, что в оптимуме ему хотелось бы иметь одинаковое потребление в периодах 1 и 2 (в таких случаях говорят про сглаживание потребления ). Это можно формализовать, например, так: если в периодах 1 и 2 объёмы потребления составят $C_1$ и $C_2$, то его суммарное удовольствие от потребления в двух периодах будет определяться как $u = \min\left\lbrace C_1;\;C_2\right\rbrace $. Сколько индивид будет потреблять в каждом периоде? Будет ли он сберегать или кредитоваться? Сколько составит величина сбережений или кредита? Предположим, что государство вводит налог на потребление в первом периоде по ставке $t\cdot 100\%$. Это значит, что если индивид желает в первом периоде иметь потребление на уровне $C_1$, то он должен будет потратить не $C_1$, как прежде, а больше, а именно величину $C_1/(1-t)$, из которой доля $t$ будет уплачена в качестве налога. Пусть государство хочет собрать с данного индивида в виде налогов сумму 90 д. е. По какой ставке нужно ввести налог? Сколько индивид будет потреблять в каждом периоде? Будет ли он сберегать или кредитоваться? Сколько составит величина сбережений или кредита? Пусть теперь предпочтения индивида устроены иначе: если в периодах 1 и 2 объёмы потребления составят $C_1$ и $C_2$, то его удовольствие будет определяться как $u = C_1C_2$. Сколько индивид будет потреблять в каждом периоде? Будет ли он сберегать или кредитоваться? Сколько составит величина сбережений или кредита? Предположим теперь, что государство вводит в точности такой же налог, какой в пункте 2, и так же хочет собрать с данного индивида в виде налогов сумму 90 д. е. По какой ставке нужно ввести налог? Сколько индивид будет потреблять в каждом периоде? Будет ли он сберегать или кредитоваться? Сколько составит величина сбережений или кредита?