Налог в модели межвременного выбора
Рассмотрите индивида, планирующего свою жизнь на два периода вперёд. В первом периоде доход индивида составит 120 д. е., во втором периоде — 210 д. е. Ставка процента постоянна и равна 25 % — по этой ставке можно взять кредит или открыть депозит. В конце второго периода индивид не желает иметь ни долгов, ни накоплений. Пусть предпочтения индивида устроены таким образом, что в оптимуме ему хотелось бы иметь одинаковое потребление в периодах 1 и 2 (в таких случаях говорят про сглаживание потребления ). Это можно формализовать, например, так: если в периодах 1 и 2 объёмы потребления составят $C_1$ и $C_2$, то его суммарное удовольствие от потребления в двух периодах будет определяться как $u = \min\left\lbrace C_1;\;C_2\right\rbrace $. Сколько индивид будет потреблять в каждом периоде? Будет ли он сберегать или кредитоваться? Сколько составит величина сбережений или кредита? Предположим, что государство вводит налог на потребление в первом периоде по ставке $t\cdot 100\%$. Это значит, что если индивид желает в первом периоде иметь потребление на уровне $C_1$, то он должен будет потратить не $C_1$, как прежде, а больше, а именно величину $C_1/(1-t)$, из которой доля $t$ будет уплачена в качестве налога. Пусть государство хочет собрать с данного индивида в виде налогов сумму 90 д. е. По какой ставке нужно ввести налог? Сколько индивид будет потреблять в каждом периоде? Будет ли он сберегать или кредитоваться? Сколько составит величина сбережений или кредита? Пусть теперь предпочтения индивида устроены иначе: если в периодах 1 и 2 объёмы потребления составят $C_1$ и $C_2$, то его удовольствие будет определяться как $u = C_1C_2$. Сколько индивид будет потреблять в каждом периоде? Будет ли он сберегать или кредитоваться? Сколько составит величина сбережений или кредита? Предположим теперь, что государство вводит в точности такой же налог, какой в пункте 2, и так же хочет собрать с данного индивида в виде налогов сумму 90 д. е. По какой ставке нужно ввести налог? Сколько индивид будет потреблять в каждом периоде? Будет ли он сберегать или кредитоваться? Сколько составит величина сбережений или кредита?
Решение
Оптимум определяется решением системы уравнений $1.25 \cdot 120 + 210 = 1.25C_1+C_2$ и $C_1 = C_2$. Решив линейную систему, получим $C_1=C_2 = 160$, т. е. индивид в первом периоде берёт кредит в размере $C_1-y_1 = 40$. Оптимум определяется решением системы уравнений $1.25 \cdot+ 210 = 1.25\frac{C_1}{1-t} +C_2$ и $C_1 = C_2$. Решив линейную систему, получим $C_1 = C_2 = \frac{360(1-t)}{2.25-t}$. Значит, налоговые сборы составят $T = \frac{tC_1}{1-t} = \frac{t}{1-t}\frac{360(1-t)}{2.25-t} = \frac{360t}{2.25-t} = 90$. По условию сборы должны равняться 90. Решив последнее уравнение, получим $t = 0.45$, т.е. налог будет введён по ставке 45%. Значит, $C_1 = C_2 = 110$. В первом периоде индивид потребляет 110 и уплачивает налоги на сумму 90, значит, он берёт кредит в размере $C_1+T-y_1 = 80$. Индивид решает задачу: $u=C_1C_2 = C_1(360 - 1.25C_1) \rightarrow \max_{C_1}$. Квадратная парабола с ветвями вниз, максимум достигается в точке $C_1 = 144$, тогда $C_2 = 180$. Значит, индивид в первом периоде берёт кредит в размере $C_1-y_1 = 24$. Индивид решает задачу: $u = C_1C_2 = C_1\left( 360 - 1.25\frac{C_1}{1-t}\right) \rightarrow \max_{C_1} $. Квадратная парабола с ветвями вниз, максимум достигается в точке $C_1 = 144(1-t)$. Значит, налоговые сборы составят $T = \frac{tC_1}{1-t} = \frac{t}{1-t}144(1-t) = 144t = 90$. По условию сборы должны равняться 90. Решив последнее уравнение, получим $t = 0.625$, т.е. налог будет введён по ставке 62,5%. Значит, потребление составит $C_1 = 54$ и $C_2 = 180$. В первом периоде индивид потребляет 54 и уплачивает налоги на сумму 90, значит, он берёт кредит в размере $C_1+T-y_1 = 24$.