Производство-easy

Оптимальный монопольный выпуск — 0.

Допустим монополист открыл n заводов. Тогда его постоянные издержки будут равны: $FC = 1^2 + 2^2 + ... + n^2 = n(n+1)(2n+1)$ Теперь посмотрим на MC $$ MC_{i}=\frac{2Qi}{i^2} $$ значит $Q_{i}=\frac{MC_{i}*i^2}{2} $В данном случае MC всех заводов - возрастающие функции по Q, а значит в оптимуме они должны быть равны. Обозначим $MC_{i}$ как MC, тогда $Q_{общ}=\frac{MC}{2(1^2+...+n^2)}$ отсюда $MC = \frac{2Q}{n(n+1)(2n+1)}$ Тогда $TC_{общ}=\frac{Q^2}{n(n+1)(2n+1)} + n(n+1)(2n+1)$ Безусловно, можно взять производную по n, найти оптимальное значение (с учетом целочисленности n), подставить в издержки и найти функцию. Однако, есть и другой метод: представим, что мы откроем хотя бы один завод (в противном случае, очевидно, монопольный выпуск равен нулю). Тогда FC>0, VC не меньше нуля. Пусть VC = a, FC = b. Тогда, по неравенству о средних TC не меньше чем 2Q, а так как мы минимизируем TC, то TC = 2Q. Отсюда предельная прибыль монополиста равна -2q, значит оптимальный выпуск равен нулю. Ответ: Оптимальный монопольный выпуск - 0. Примечание: Внимательный школьник наверняка заметит, что если взять производную TC по n, и проминимизировать, то оптимальное n будет неким образом зависить от Q, и тогда нужно будет проверять будет ли n целым, в зависимости от Q. Однако, мы вывели, что если бы n необязательно было целым, то предельная прибыль монополиста была бы не положительной при любом Q, а значит при только целых n, прибыль будет не больше, и оптимальный монопольный выпуск все равно будет 0 (потому что оптимизация издержек для целых n есть частный случай оптимизации издержек для любых неотрицательных n). Еще более внимательный школьник заметит, что максимальная прибыль на данном спросе равна 1, как и постоянные издержки при открытии первого завода, уже отсюда можно сделать вывод, что оптимальный выпуск 0.