Задача 5 ОЧ-2018 10 класс
Города $A$ и $B$ соединяет прямая дорога длиной 10 км. Вдоль всей дороги в двух шагах от нее находятся залежи алмазов, которым нет числа. Алмазы находятся глубоко под землей, и обычные жители городов их не добывают. Спрос на алмазы в каждом городе задается функцией $Q_d = 250 - 2P$, где $Q$ - кол-во штук (не обязательно целое), $P$ - цена в гривнах (не обязательно целое число). Чтобы разбогатеть, авантюристы - копатель и два караванщика - отправляются в поход за алмазами, добыча которых - нелегкое занятие, и каждый добытый алмаз (1 шт.) обходится в 25 гривен. Копатель может выбрать любое место вдоль дороги для лагеря, где он будет добывать алмазы. Алмазы передаются караванщикам, и те честно везут их в города для продажи, каждый караванщик везет алмазы в свой город. Однако, чтобы отправить один алмаз из лагеря в город, в котором караванщик его продаст, необходимо потратить $s^2$ гривен, где $s$ - расстояние до города в км (не обязательно целое). Копатель и два караванщика максимизируют суммарную прибыль.
Подпункты
а)
Какое место выберет копатель для лагеря, какую максимальную прибыль получит команда, сколько алмазов будет отправлено из лагеря? Сколько алмазов будет продано в каждом городе, если издержки связаны только с добычей и транспортировкой? Считайте, что караванщики могут назначать разные цены в городах.
б)
В городе $B$ появились разбойники. Пусть они узнали, где копатель собирается разбить лагерь, и хотят ограбить караванщика. Разбойники выбирают ближайшее место для засады, причем доля алмазов, которая достанется им от грабежа описывается функцией $min\{{\frac{S_1}{5}; \frac{S_2}{5}}\}$, где $S_1$ - расстояние от засады до лагеря, $S_2$ - расстояние от засады до ближайшего города. Копатель ничего не знает о разбойниках. Какое место выберут разбойники для засады? Ответьте на вопросы предыдущего пункта. Считайте, что украденные алмазы также учитываются в издержках на перевозку.
в)
Пусть копатель тайно узнал, где разбойники собираются устроить засаду. При этом он уже договорился, сколько алмазов передаст каждому караванщику в лагере (как в пункте а)), и не может это изменить. Однако он может изменить место, где будет разбит лагерь. (Если он решит, например, разбить его ближе к месту засады разбойников, то разбойникам может достаться меньше алмазов, чем раньше). Ответьте на вопросы первого пункта.
Решение
а) Пусть $q_1$ - количество алмазов, отправленных в $A$, $q_2$ - в город $B$. Тогда: $$PR(q_1, q_2) = [(125 - 0.5q_1)q_1 - 25q_1 - s^2q_1 ] + [(125 - 0.5q_2)q_2 - 25q_2 - (10 - s)^2q_2 ]$$ Данная функция - сумма двух незаисимых друг от друга парабол, каждую из которых можно максимизировать отдельно. Проделав это, получим: $q_1^* = 100-s^2$, $q_2^* = 100 - (10-s)^2$. Подставив данные соотношения обратно в функцию прибыли, получим зависимость максимальной прибыли от расположения лагеря: $$PR(s) = 0.5(100-s^2)^2 + 0.5(100 - (10-s)^2)^2$$ Максимум этой функции совпадает с максимумом функции $-200s^2 + s^4 - 200(10-s)^2 + (10-s)^4$ (достаточно раскрыть скобки и избавиться от констант). Проведем замену $t = s - 5$, раскроем скобки. При этом если $s\in[0;10]$, то $t\in[-5;5]$: $$2t^4 - 100t^2 - 8750 \to max_t$$ Или же: $$f(a) = a^2 - 50a \to max_a,$$ где $a \in [0;25]$. Это парабола, ветви вверх, следовательно максимум в одном из концов отрезка: при $a = 0$. Следовательно $t = 0$, а значит $s = 5$. Итого, лагерь будет разбит ровно на середине дороги. Тогда $q_1 = q_2 = 75$, $PR^{max} = 5625$ б) Легко заметить, что максимальное количество награбленного для разбойников достигается ровно на середине между городом и лагерем. С этой точки зрения им безразлично, где встать: между городом $A$ и лагерем или между городом $B$ и лагерем. Но поскольку они выбирают ближайшее место к городу $B$, то они встанут в 2.5 км от города $B$. Суммарная прибыль авантюристов составит 3046,875. в) Возможны три варианта нового расположения лагеря($s$): 1 случай. Новый лагерь находится ближе к городу $A$, чем старый ($s \in [0;5]$) 2 случай. Новый лагерь находится ближе к разбойникам ($s \in [5;7.5]$). Заметим, что если $s =7.5$, то разбойникам ничего не достается. 3 случай. Новый лагерь находится за разбойниками ближе к городу $B$ ($s \in [7.5; 10]$). 1 случай. В $A$ доедет 75 алмазов, в $B$ доедет только половина, но в издержках мы будем учитывать 75. Выручка в таком случае постоянна, необходимо минимизировать суммарные издержки на перевозку: $$75s^2 + 75(10-s)^2 \to min_s \Rightarrow s^* = 5$$ 2 случай. В $A$ доедет 75 алмазов, в $B$: $15s - 37.5$ (теперь разбойникам достается меньше, при $s =7.5$ все 75 алмазов доедут до $B$). Поскольку выручка в $A$ - константа, ее можно не учитывать, а значит: $$-75s^2 - 75(10-s)^2 + (15s - 37.5)(125 - 0.5(15s - 37.5)) \to max_s \Rightarrow s^* = 7.5$$ Поскольку $s=5$ также входило в рассматриваемый промежуток, значит $s^* = 7.5$ лучше. 3 случай является менее оптимальным как с точки зрения издержек, так и с точки зрения украденных алмазов. Двигаться дальше к городу $B$ не выгодно. Итого: $s^* = 7.5$. Разбойникам ничего не достанется. В каждый город доедет 75 алмазов, а прибыль составит $PR = 4687,5$.