Размещение завода
Фирма Альфа продает товар А на совершенно конкурентном рынке города N. При производстве продукции фирма несет следующие издержки: Издержки транспортировки товара от завода до города, которые зависят от того, где фирма расположит свой завод. Завод можно расположить на любом расстоянии от города N (в пределах от 0 до 10 километров). Известно, что, если фирма расположит свой завод на расстоянии $t$ километров от города, то транспортировка каждой единицы товара будет обходиться ей в $t$ рублей. Арендная плата за землю, на которой фирма расположила свое производство. Чем дальше от города, тем дешевле земля: если расположить завод на расстоянии $t$ километров от города, то арендная плата составит $(100-t^2)$ рублей. Остальные издержки производства (измеренные в рублях) имеют вид $TC=q^2$, где $q$ — объем выпуска фирмы. Найдите функцию предложения фирмы и постройте ее график.
Решение
Рассмотрим сначала ту часть издержек фирмы, которая зависит от t: $$f(t)=tq+(100-t^2),t∈[0,10]$$ Относительно t это парабола, направленная ветвями вниз, следовательно, минимальное значение на отрезке [0,10] эта функция принимает на одном из краев: либо в точке t=0 (где f(t)=100) либо в точке t=10 (где f(t)=10q). (2 балла) Видно, что минимум функции на отрезке достигается во второй точке при q<10. Поэтому если выпуск фирмы меньше 10, то фирма будет располагать свой завод на расстоянии 10 километров от города. И наоборот, если q>10, то фирма будет располагать свой завод непосредственно в городе. При q=10 фирме все равно, в какой из двух точек располагать свой завод: либо в городе, либо максимально далеко от него (в любой из этих точек f(t)=100). (1 балл) Используя эти соображения, мы теперь можем записать суммарные издержки фирмы как функцию только от ее объема выпуска: $$TC(q)=\begin{cases} q^2+10q, & q<10\\ q^2+100, & q\ge10 \end{cases}$$ (1 балл) Следовательно, функция прибыли фирмы может быть записана следующим образом: $$Pr(q)= \begin{cases} pq-q^2-10q, & q<10\\ pq-q^2-100, & q\ge10 \end{cases}$$ (1 балл) Каждый из этих участков представляет собой параболу, с ветвями, направленными вниз, что позволяет легко найти максимальное значение прибыли для каждого из участков. На первом участке максимум прибыли достигается при q=0,5p-5 и составляет $Pr=(0,5p-5)^2$. (1 балл) На первом участке максимум прибыли достигается при q=0,5p и составляет $Pr=0,25p^2-100$. (1 балл) Первый участок следует выбирать, когда максимальная прибыль на нем больше, чем на втором: $$(0,5p-5)^2 \ge 0,25p^2-100$$ $$p \le 25 $$ (Идея сравнения двух участков, при условии их корректного выписывания, оценивается в 2 балла, верно найденная граница для цены — еще в 1 балл) Таким образом, фирме следует выбирать первый участок, когда цена ниже 25 (при этом, если цена падает до 10, то выпуск сокращается до нуля) и выбирать второй участок, когда цена больше 25. Если цена равна 25, то фирме все равно, какой из участков выбирать, так как максимальная прибыль на каждом из них совпадает (в ответе для определенности точка p=25 включена в последний участок): $$q= \begin{cases} 0, & p \le 10 \\ 0,5p-5, & 10 < p < 25 \\ 0,5p, & p \ge 25 \end{cases}$$ (3 балла, если верно указаны все участки. Если забыт нулевой участок, то на один балл меньше. Если в ответе указан только один из участков, то ноль баллов) (2 балла за рисунок) Разрыв в функции предложения возникает из-за того, что, когда цена превышает определенный порог, фирме становится выгодно перенести свое производство с периферии непосредственно в город, что обнуляет транспортные расходы и способствует резкому увеличению выпуска. Комментарий к оцениванию: Для решения задачи нужно использовать две важные промежуточные идеи: Завод выгодно располагать либо в самом городе, либо максимально далеко от него. Промежуточные варианты не оптимальны. Сравнение прибыли, получаемой на двух участках функции прибыли. (Это традиционная олимпиадная идея, которая встречалась, например, и в региональном этапе прошлого года.) Если ни одна из этих идей не возникла, то задача полностью провалена, и оценить ее можно только нулем баллов. Ответ $$q= \begin{cases} 0, & p \le 10\\ 0,5p-5, & 10 < p < 25\\ 0,5p, & p \ge 25 \end{cases}$$