Классика

а) Выведем предложение. Поскольку рынок является совершенно конкурентным, приравняем $P$ (цену) и $MC$ (предельные издержки). $$MC = 4q + 10 = P$$ $$q = \dfrac{P-10}{4}$$ Получили предложение одной фирмы, тогда совокупное предложение на рынке составит: $$Q_S = 80q = 20P - 200$$ Теперь найдем равновесие, приравняв спрос и предложение: $$20P - 200 = 200 - 5P$$ $$P^* = 16, ~ Q^* = 120, ~ q^* = 1,5$$ Осталось найти прибыль одной фирмы. $$\Pi = TR - TC = P^* \cdot q^* - 2(q^*)^2 - 10q^* - 2021 = 16\cdot 1,5 - 2\cdot (1,5)^2 - 10 \cdot 1,5 - 2021 = -2016,5$$ б) Заметим, что налог на выручку полностью эквивалентен акцизу. Действительно, $TR_s = P_sQ= (1-t)TR_d = (1-t)P_dQ$, тогда $P_s = (1-t)P_d$ или $P_d - P_s = tP_d$. Итак, мы поняли, что налог на выручку – это то же самое, что акциз. Далее, из эквивалентности налогов, максимальные налоговые сборы достигаются при единственных значениях $P_d$ и $P_s$. Тогда найдем эти значения через потоварный налог. Мы знаем, что оптимум потоварного налога: $t_p= \dfrac{P_{max}-P_{min}}{2} = \dfrac{40-10}{2}=15$. Введем данный потоварный налог для нахождения $P_d$ и $P_s$: $$200-5(P_s+15) = 20P_s-200$$ $$ 325 = 25P_s $$ $$P_s = 13, ~P_d=28$$ Теперь связка для акциза: $P_d - P_s = t_a P_d$ или $15 = 28t_a$, тогда $t_a =15/28=\dfrac{15}{28}$. в) Будем действовать аналогично. Будем вводить потоварный налог, а из него восстанавливать величину акциза, которая равна налогу на выручку. Пусть $t$ – потоварный налог. $$200-5P_d = 20(P_d-t)-200$$ $$P_d = 16+0.8t~~~P_s = 16-0.2t$$ Тогда посчитаем зависимость излишков от величины $t$: $$CS = 1.6(30-t)^2$$ $$PS = 0.4(30-t)^2$$ Заметим, что ставка потоварного налога, при котором достигается равенство не меньше 30. Тогда $$P_d-P_s = 30 = 40t_a$$ $$t_a= 0.75$$ Тогда ответ: $t_a\geqslant 0.75$