Автозаправка
На рынке автозаправок действует компания-монополист, заправка которой расположена на расстоянии s от поставщика бензина. Поставщик продаёт бензин компании-монополисту по цене 30 у.е. за литр. Известно, что для того, чтобы доставить Q литров на расстояние s, компания-монополист затрачивает 0,5sQ литров бензина на заправку бензовоза. Других издержек компания-монополист не несёт. Спрос на бензин на заправке не зависит от её расположения и составляет $Q^d=120-P^d$. Государство облагает налогом компанию за каждый закупленный у поставщика литр бензина (независимо от того, продают ли его на заправке или используют для транспортировки) по ставке, которая максимизирует поступления в бюджет. Определите, на каком расстоянии от поставщика компания расположила заправку, если известно, что цена бензина на ней составила 105 у.е.
Ответ
s = 2.
Решение
Суммарные издержки компании-монополиста (3 балла) : $$TC(Q)=(30+t)(Q+0{,}5sQ)=(30+t)(1+0{,}5s)\cdot Q \Rightarrow MC=(30+t)(1+0{,}5s)$$ Суммарная выручка: $$TR(Q)=120Q-Q^2 \Rightarrow MR=120-2Q$$ Оптимум монополиста достигается при равенстве предельных издержек и выручки: $$120-2Q=(30+t)(1+0{,}5s) \Rightarrow Q=60-0{,}25(30+t)(s+2) \Rightarrow P=60+0{,}25(30+t)(s+2) \; \textbf{ (2 балла)}$$ Государство максимизирует поступления в бюджет (с учётом того, что налогом облагается каждый закупленный у поставщика литр бензина (независимо от того, продают ли его на заправке или используют для транспортировки): $$\begin{equation} T=t\cdot Q\cdot (1+0{,}5s)=t\cdot\bigl(60-0{,}25(30+t)(s+2)\bigr)\cdot(1+0{,}5s) \\ t^*=\dfrac{60-7{,}5(2+s)}{0{,}5(2+s)}=\dfrac{120-15(s+2)}{2+s}=\dfrac{120}{s+2}-15 \; \textbf{ (3 балла)} \\ P=60+0{,}25\left(30+\dfrac{120}{s+2}-15\right)(s+2)=60+0{,}25\bigl(120+15(s+2)\bigr)=90+\dfrac{15}{4}(2+s) \\ P=105 \Rightarrow s=2 \textbf{ (3 балла)} \end{equation}$$ Ответ: 2