Налоги монополиста
Спрос на продукцию фирмы-монополиста внутри страны задаётся функцией $Q_d=100-2P$, а её издержки $TC(q)=\dfrac{Q^2}{8}$. У монополиста также есть возможность реализовать продукцию на внешнем рынке по цене 25. Однако в силу квоты экспортируемое количество не может превышать 25. Жители внутри страны не имеют доступа к внешнему рынку.
Подпункты
а)
Сколько единиц продукции будет реализовано на внутреннем рынке и по какой цене?
б)
Государство вводит потоварный налог на монополиста ($t$ единиц с каждой произведённой продукции). При какой ставке достигается максимум налоговых поступлений, чему он равен?
Решение
а). $\begin{cases} 50-q, & q\leq25 \\ 25, & 25\lt q\leq50 \\ 75-q, & 50\lt q\leq 75 \end{cases} \;\; \;\; \textbf{(1 балл)}$ $MC=0{,}25q$ Следовательно, пересечение с MR на участке $50\lt q\leq75$. MR не возрастает, MC строго возрастает и линейна. Следовательно, точка пересечения – точка максимума прибыли. $\begin{array}{l}75-q=0{,}25q \Rightarrow q^*=60 \textbf{ (1балл)} \\ q_{внешн}=25, \; q_{внутр}=35 \textbf{ (1балл)} \\ p_{внутр}=32{,}5 \textbf{ (1балл)} \end{array}$ Ответ может быть получен выписыванием функции прибыли и максимизации на участках. Штраф за отсутствие обоснования максимума – минус 1 балл. б) Введение потоварного налога для монополиста эквивалентно изменению $MC:MC_1=0{,}25q+t$ Необходимо рассмотреть 3 случая. Во всех случаях MR не возрастает, MC строго возрастает и линейна. Следовательно, точка пересечения – точка максимума прибыли. 1 случай: $\begin{gathered} 50\leq q\leq75 \\ 75-q=0{,}25q+t \Rightarrow q=60-0{,}8t \Rightarrow t\leq12{,}5 \\ Tx(t)=60t-0{,}8t^2, \; t\leq12{,}5\end{gathered}$ 2 случай: $\begin{gathered} 25\leq q\leq50 \\ 0{,}25q+t=25 \Rightarrow q=100-4t \Rightarrow 12{,}5\leq t\leq\dfrac{75}{4} \\ Tx(t)=100t-4t^2, \; 12{,}5\leq t\leq\dfrac{75}{4}\end{gathered}$ 3 случай: $\begin{gathered}q\leq25 \\ 0{,}25q+t=50-q \Rightarrow q=40-0{,}8t \Rightarrow \dfrac{75}{4}\leq t\leq50 \\ Tx(t)=40t-0{,}8t^2, \; \dfrac{75}{4}\leq t\leq50 \\ Tx_{max}=Tx(t=12{,}5)=625\end{gathered}$ Оценивание: Вывод кривой Лаффера. По 1 баллу за каждый верный участок, всего 3 балла. Максимум налоговых поступлений – 2 балла. Оптимальная ставка потоварного налога – 2 балла. Штраф за отсутствие обоснования максимума – минус 1 балл. Максимум за задание – 11 баллов.