Доход студентов
В стране ЭШВ кривая Лоренца задается уравнением $y=x^2$. ЭШВ объединилась со страной ШЭР, где каждый житель получал доход, равный медианному доходу страны ЭШВ. Населения и совокупный доход в обеих странах равны.
Подпункты
а)
Найдите кривую Лоренца объединённой страны.
б)
На сколько изменилось значение коэффициента Джини? Необходимо сравнить коэффициент Джини новый страны с коэффициентами стран до объединения
Решение
а) Утверждение, что житель с медианным доходом находится при $x=\frac{1}{2}$, потому что жители расположены в порядке возрастания доли дохода по оси Ох. $y=x^2$, тогда медианный доход ЭШВ: $y'_x(0,5) * \frac{I_1}{N_1}= \frac{I_1}{N_1}$ $ I_1=I_2=\frac{I}{2}$ , где $I_1, I_2 , I$ — совокупные доходы ЭШВ, ШЭР и объединенной страны соответсвенно. $N_1=N_2=\frac{N}{2}$ , где $N_1, N_2, N$ — населения ЭШВ, ШЭР и объединенной страны соответсвенно. 1) $y=ax^2$, так как $y_1=0,5x$; $x_1=0,5x$ => $2y_1=y$; $2x_1=x$ => $2y_1=(2x_1)^2$ => $y_1=2x_1^2$ Доля дохода беднейшей группы в стране ЭШВ был 0,25, из-за увеличения общего дохода в 2 раза она становится 0,125. Аналогично, для доли населения. $\frac{1}{8}= a*(0,25)^2$ $a=2$ 2) Строим по двум точкам участок страны ШЭР, который паралелен линии абсолютного равенства. $y= -\frac{1}{8}+x$ 3) Аналогино, для 3 участка. $y= ax^2+ bx+c$ y'=2a+b y(1)=1, y(0,75)=0,625 a+b+c=1 $a*\frac{9}{16} +b*\frac{3}{4}+1-a-b=\frac{5}{8}$ $y'(0,75)=y'(1)=2ax+b=\frac{6}{4}a+b=1$ $$
\begin{cases} a+b+c=1 \\ a*\frac{9}{16} +b*\frac{3}{4}+1-a-b=\frac{5}{8}\\ \frac{6}{4}a+b=1\\ \end{cases}
$$ a=2, b=-2, c=1 Итоговая запись кривой Лоренца: $$
\begin{cases} 2x^2, & x \in [0; 0,25] \\ -\frac{1}{8}+x, & x \in [0,25; 0,75]\\ 2x^2-2x+1, & x \in [0,75; 1] \end{cases}
$$ б) $G_1=\frac{1}{3}$ (для ЭШВ) $G_2 = 0$ (для ШЭР) $G_3$ — коэффициент Джини для объединенной страны. $S = S_1+S_2+S_3$, где $S_1; S_2; S_3 $ — три площади под графиком объединенной страны. \\ $S = \frac{1}{96} + \frac{19}{96}+ \frac{3}{16}= \frac{19}{48}$ $G_3 = 1-2S= 1- \frac{2*19}{48} = \frac{5}{24}$ $|G_3-G_1|=\frac{1}{8}$ $|G_3-G_2|=\frac{5}{24}$ Ответ: для G_1 дельта 1/8; для G_2 дельта 5/24. Ответ: а) $$
\begin{cases} 2x^2, x \in [0; 0,25] \\ -\frac{1}{8}+x, x \in [0,25; 0,75]\\ \ 2x^2-2x+1, x \in [0,75; 1] \end{cases}
$$ б)для G_1 дельта 1/8; для G_2 дельта 5/24
\begin{cases} a+b+c=1 \\ a*\frac{9}{16} +b*\frac{3}{4}+1-a-b=\frac{5}{8}\\ \frac{6}{4}a+b=1\\ \end{cases}
$$ a=2, b=-2, c=1 Итоговая запись кривой Лоренца: $$
\begin{cases} 2x^2, & x \in [0; 0,25] \\ -\frac{1}{8}+x, & x \in [0,25; 0,75]\\ 2x^2-2x+1, & x \in [0,75; 1] \end{cases}
$$ б) $G_1=\frac{1}{3}$ (для ЭШВ) $G_2 = 0$ (для ШЭР) $G_3$ — коэффициент Джини для объединенной страны. $S = S_1+S_2+S_3$, где $S_1; S_2; S_3 $ — три площади под графиком объединенной страны. \\ $S = \frac{1}{96} + \frac{19}{96}+ \frac{3}{16}= \frac{19}{48}$ $G_3 = 1-2S= 1- \frac{2*19}{48} = \frac{5}{24}$ $|G_3-G_1|=\frac{1}{8}$ $|G_3-G_2|=\frac{5}{24}$ Ответ: для G_1 дельта 1/8; для G_2 дельта 5/24. Ответ: а) $$
\begin{cases} 2x^2, x \in [0; 0,25] \\ -\frac{1}{8}+x, x \in [0,25; 0,75]\\ \ 2x^2-2x+1, x \in [0,75; 1] \end{cases}
$$ б)для G_1 дельта 1/8; для G_2 дельта 5/24