Монополист Везучий-2
Монополист Н. Е. Везучий оказался в затруднительном положении: в краткосрочном периоде в оптимуме оказалось, что выручка покрывает только переменные издержки. Спрос на рынке описывается функцией $P=150-3Q$, в оптимуме монополист продаёт 10 единиц продукции, отсутствует возможность ценовой дискриминации. Известно, что функция средних переменных издержек AVC описывается параболой, минимум которой достигается при Q=12. Пусть государство, считая производство монополиста очень важным для страны, вводит потоварную субсидию монополисту в размере 375 ден. ед. на одну единицу продукции. Найдите новое оптимальное количество.
Решение
Найдём равновесие, если Q=10, P=120. Восстановим функцию переменных издержек VC. Не важно, уходить с рынка или нет, значит прибыль равна -FC. Если в оптимуме прибыль равна -FC, то ситуация выглядит так: В этом случае должны выполняться условия: спрос касается AVC при Q=10 AVC=P при Q=10. Пункты 1 и 2 верны, так как в точке оптимума прибыль: $$\pi=P\cdot Q^*-AVC\cdot Q^*-FC=Q^*\cdot(P-AVC)-FC$$ MC=MR при Q=10, так как это точка оптимума. Введём функцию $AVC=aQ^2+bQ+c$. Подставим всю известную информацию: $AVC'_Q=P'_Q \Rightarrow 2aQ+b=-3 \Rightarrow 20a+b=-3 \Rightarrow b=-3-20a$ $aQ^2+bQ+c=120 \Rightarrow 100a+10b+c=120 \Rightarrow c=120-100a-10\cdot(-3-20a) \Rightarrow c=150+100a$ $Q_b=-\dfrac{b}{2a}=12 \Rightarrow b=-24a=-3-20a \Rightarrow a=\dfrac{3}{4} \; b=-18$ $c=150+100a=225 \Rightarrow VC=0{,}75Q^3-18Q^2+225Q$ Если введена субсидия в размере 375 единиц, то новая функция $VC=0{,}75Q^3-18Q^2+225Q-375Q$ (7 баллов) Тогда: $MC=\dfrac{9}{4}Q^2-36Q-150=150-6Q=MR$ Новое $Q^*=20$ (4 балла).